费马大定理破解传奇

清华大学数学科学系教授 张贤科博士

费马的大猜想历经358年终被怀尔斯破解，在世界各地庆祝狂欢的同时，BBC拍摄了电视纪录片。导演辛格据此出书，以其资料真切、文理交融，在关于费马大定理的所有介绍性书籍中超然称冠。费马大定理，人类对她的追寻，以及由此产生的故事、精神和学问，是人类永远的珍宝。还是在费马大定理刚被证明不久，世界仍处在费马狂欢节的时候，就听说BBC在拍这方面的电视纪录片——这在电视电影史上恐怕是罕见的。不久就看到英文版的辛格(SimonSingh)的这本书，是他在拍摄电视片过程中获得了许多翔实的资料，而后文理交

融精心写就的。当时就买了几本。——但是，喜欢这本书的人太多了，如今我手头一本英文版的书也没剩下，也无从追踪或购买了。总有些遗憾。

　　费马大定理令我关注很久了(当然，她也令世界关注得太久太强烈)。我的心曾随着费马大定理被证明的曲折而起伏。在这之前和之后，在我写的书的序言和讲演或文章中，我也多次介绍过费马大定理的历史和数学。记忆中最早的震动在19 83年，开始朦胧地风传法尔廷斯(G.Faltings)证明了莫代尔猜想，从而逼近费马大定理的边缘。当时王元院士正好来校,我们都问他有关情况。这以后关于费马大定理的风声就越来越紧了。1987年春，一个日本数学家在德国宣布证明了费马大定理，惊动世界，但一个月后不得不宣布收回。当时我在美国马里兰大学访问，早晨到学校，只见系里办公室门上显眼地贴着一张大照片(几乎整版华盛顿邮报)，一个警察正在制服一个罪犯，下面写着一行字：“我们数学界昨天也抓到一个诈骗犯！”

　　再从另一件事情也可以看出当时的紧张空气。1990年春，著名数学家茹宾和华盛顿等到天津南开大学参加数论会议，期间去承德多日。承德有世界最高的(据说)整木千手观世音像。当然最显眼的是棒槌石，那是承德的标志，像个巨大的棒球棒高高地竖立在山头，看似有随时崩塌的危险。

　　与会人士不约而同地打赌：费马大定理和棒槌石，哪个先满劫数解决掉呢？

　　三年后的1993年6月23日，怀尔斯就宣布证明了费马大定理，一片费马热。记得当时我因忙于一事未看报道，还是和陆洪文教授一起到301医院看望王元院士时才知道的。但是世界狂欢的好景不常，不久就发现证明有漏洞，而且越来越发现难以修补。一时议论纷起。怀尔斯备受压力，焦头烂额，几次想公开宣布失败。1994年8月11日下午，在瑞士苏黎世的世界数学家大会上，怀尔斯做最后的压轴发言，全体与会者平息静听。他报告后我和他交谈并合影，他显得是那样的憔悴瘦削。那是他最黑暗的时候。一个月之后的9月19日早晨，就在他几乎要放弃的时候，他发现成功就在废墟之上！

　　辛格在拍摄和写书的过程中，多次采访怀尔斯等当事人，交谈查阅记录和拍摄，得到大量第一手的资料。这本书以费马大定理为核心，纵线追寻它的古今传奇生死歌泣史事，横线介绍引人入胜的经典和新鲜的数学知识，当中融进安德鲁·怀尔斯10年感天动地的证明故事，穿插着有趣的人事，和奇妙无比的“现代数学”介绍。这本书，亦文亦理，有人文有数学，有故事有精神。有令人豁然开朗的线索追寻和联系概述，也有直面真切的事件和人物的“特写镜头”，还包含不少图片。

　　这本书向热爱数学的青年人打开了数学伊甸园的一扇大门。它谈论着曾影响世界的最重要事件、人物、历史——其经典和奇伟程度，绝对优于众多的小说武侠、影球明星。它也蕴含着精神理念和若干简洁经典的数学知识，且都寓于情节之中。它“界面”友好，“平台”低广，没有枯燥推理，却有清新的美感。它足以让人领会到，数学不(光)是逻辑、知识、工具、奴仆，这只是世俗的实用的一面之词，尽管信息高科技时代

归根结底原不过是数字科技时代。
(Note: 费马大定理最终得以证明，是人类智力活动的一曲凯歌。费马大定理终结者怀尔斯因此获得世界唯一菲尔茨奖特别奖，沃尔夫奖和邵逸夫奖。
http://www.shawprize.org/en/announcement/2005/index.html
http://pkunews.pku.edu.cn/newsshow.aspx?id=100758)


本文作者简介:
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/faculty/~xzhang/research.html

清华大学数学科学系教授，博士导师. 毕业于中国科学技术大学 数学系(北京, 1969). 理学硕士(1981), 理学博士(1985). 研究数学，代数与数论专业. 曾较长期在中国科学技术大学任教(1973-1993).

“国际理论物理中心” (属联合国教科文组织, 在意大利) 联合研究员（1991--）, 资深联合研究员（1999--）。 美国和德国两国《数学评论》长期评论员。 美国数学会会员。北京数学会副理事长。

《数学的实践与认识》副主编。《世界科技研究与发展》等刊物的编委. 曾任清华大学学位委员会委员；数学学位分委员会主席。
获奖情况:
1.“国家自然科学奖三等奖”(1990).
2. 国家“做出突出贡献的中国博士学位获得者”奖(1991).
3.“中国科学院科技进步奖二等奖”(1988).
4.“安徽省首届优秀科技论文奖一等奖”(1986).
5. 中国科学技术大学首届优秀论文一等奖等奖.
6. 清华大学首届及多届“良师益友”奖. 教学二等奖。

享受政府特殊津贴. 载入《世界数学家辞典》1986年第八版及以后版(国际数学联合会
IMU编定).

曾较长期访问并工作于美国、欧洲多次, 出席1994年苏黎世“世界数学家大会”, 1988年“美国数学会百年庆典”等. 访问马里兰大学, 纽约市大学, 罗马大学, 瑞士联邦理工大学, 迪里雅斯特大学, 国际理论物理中心等, 均对方出资并作学术研究及报告.在国内外发表了学术论文六十篇以上于 《中国科学》, 《科学通报》,《数学学报》,《Proceedings of American Math Society》,《Journal of Number Theory》, 《Pacific J. of Mathematics》, 《Acta Arithmetica》等学术期刊. 其中SCI 收入论

文30多篇。

主要研究领域:多类代数数域和代数函数域的分类, 类群, 类数, 密度,相对扩张, 种域理论, 类数公式，和椭圆曲线算术理论,有理点群,等方面.国际权威数学家唐·查吉尔(Don B. Zagier)和劳·华盛顿(L. C. Washington) 在1988年的评议书中评论张“属当今中国的领导数论学家”.查吉尔还在1984年评论过张的博士学位前的论文：“毫无疑问能在欧洲和美国的任何一所大学里为张先生赢得博士学位”。著有《代数数论导引》（全国研究生暑期学校，国家基金委联合推荐资助出版, 被教育部评为全国数学研究生教学用书）, 《高等代数学》等书.


代数数论简介:
http://info.math.tsinghua.edu.cn/faculty/faculty.asp?tgt=xzhang
代数数论，包括算术代数几何，代数函数域等。

代数数论是古典数论的现代自然发展，后来范围大为扩展. 她既使用代数方法和理论，也大量使用分析（解析），几何，函数论等等的方法理论。近几十年来，代数数论取得了许多当代最伟大的成果：费尔马大定理，高斯猜想（虚部），威尔猜想等的被证明都震动了世界。还有许多未解决的问题，如高斯猜想，BSD猜

想等更吸引人。另一方面，代数数论的入门，相对来说，还是比较具体的. 因此, 代数数论确是通向现代数学的正道佳途。且在通信、密码等有重要应用。代数数论的最基本研究对象是(代数)数域,就是有理数域的有限次扩张. 最基本定理是: 在一个数域中,每个理想可唯一分解为素理想之积. 这可弥补“复数无唯一分解律”的不
足，在历史上使代数数论发展起来. 系统理论创始于库默尔.她的诞生有一个有趣的故事，和费马大定理有很深的关系.


Further Reading:

1. 代数，数论，费尔马大定理等介绍 (A)
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/faculty/~xzhang/fermatetc.html

2. 代数，数论，费尔马大定理等介绍 (B)
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/faculty/~xzhang/fermatetcB.html


Appendix:

“业余数学家之王”费马
by 王渝生

我发现了许多非常美好的定理。 ——费马

有一位法学学士、律师、国会议员，并享有“长袍贵族”特权的官宦子弟，却在数论、解析几何、微积分和概率论等数学分支领域贡献良多，他就是法国的费马（Ｐｉｅｒｒｅ ｄｅ Ｆｅｒｍａｔ，公元１６０１～１６６５年），被后世誉为“业余数学家之王”。

费马的父亲是法国多米尼克的地方的执政官，母亲曾在“长袍贵族”议会中任职。费马出生于１６０１年８月２０日，１６３１年获奥尔良大学民法学学士学位，并以律师为职业，曾任图卢兹议会的议员。他有丰富的法律知识，精通数国外语，而且业余爱好数学。

费马研究古希腊几何学，于１６２９年编写《平面和立体的轨迹引论》一书，虽然迟至１６７９年才出版问世，但他已早于笛卡尔《几何学》（１６３７年）发现了解析几何的基本原理——用代数方程表示曲线的方法。
关于微积分，牛顿曾说：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接并且反过来应用于抽象的方程。”这种切线作法出现在费马所著《求最大值和最小值的方法》（１６３７年）一书中。１６５４年，法国骑士梅累向帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢ｓ局就算赢，现在一个人赢ａ（ａ＜ｓ）局，另一个人赢ｂ（ｂ＜ｓ）局，赌博中止，问赌本应怎样分法才算合理？”这个问题后来称为“赌点问题”。帕斯卡接到这个问题后，立刻将其转告费马，他们俩人都对这个问题作出了正确的解答，但所用方法不同。关于概率论的研究，就是这样开始的。后来，惠更斯继续研究这个问题，并于１６５７年写成《论赌博中的计算》一书，从而使概率论成为研究随机现象统计规律的数学分支。费马在业余数学研究中的最大成就当属数论，最著名的是以他的名字命名的两个定理：“费马小定理”——如果ｎ是一个任意整数而ｐ是一个任意素数，那么，ｎ的p次方－ｎ可以被ｐ整除。例如，ｎ＝４，ｐ＝３，那么４的3次方－４＝６０能被３整除。“费马大定理”——ｘ的ｎ次方＋ｙ的ｎ次方＝ｚ的ｎ次方，当ｎ＞２时无整数解。例如，ｎ＝３时，ｘ的３次方＋ｙ的３次方＝ｚ的３次方无整数解。

我们知道，当ｎ＝２时，ｘ的２次方＋ｙ的２次方＝ｚ的２次方有无穷多组整数解。如ｘ＝３，ｙ＝４，ｚ＝５，有３的２次方＋４的２次方＝５的２次方；又如ｘ＝５，ｙ＝１２，ｚ＝１３，有５的２次方＋１２的２次方＝１３的２次方。这是古希腊数学家
丢番图的《算术》第二卷第８命题“将一个平方数分为两个平方数”。大约１６３７年左右，费马在《算术》一书中该命题旁边，用小字写道：“但是，要将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，都是不可能的。对此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小而写不下。”这就是数学史上著名的“费马大定理”或称“费马最后定理”。

“费马大定理”的证明困扰了其后３个半世纪的著名数学家，其中包括欧拉、高斯和柯西，他们都得到了部分结果，但都没有给出普遍的证明。为此，布鲁塞尔科学院、巴黎科学院都曾悬赏征集这个问题的证明，但没有得到结果。１９０８年，哥廷根皇家科学会把奖金提高到当时的天文数字１０万马克，仍无人问津。不过，距今１０年前，这个难题被英国数学家威尔斯彻底解决。费马性情谦抑，好静成癖。他对数学的许多研究成果，往往以极其简洁的语言表述，写在他读过的书籍边缘或空白处；也有一些只言片语写在给朋友的信函中；还有就是随便散放在旧纸堆里。他不愿发表其研究成果，而且对已完成的工作不再感兴趣。他是一个
完全以兴趣爱好出发和完全无功利目的的业余数学研究者。他的经验抑或是教训，值得
后人思考。