四色命题：任何一张平面地图，仅需四种不同颜色即可将所有区域（国家）完全区分开来。

如果将一个区域看成是一个点，则两个相邻区域可以看成是两点相连接。由此四色命题可以等价为：

等价命题1：

平面上有任意多点，这些点必须满足条以下两个条件：

条件1：点与点之间连接线互相不能交叉

条件2：如果两点相连接，则这两点必须用不同的颜色以示区分。

证明仅需四种不同颜色即可完全区分所有点。

仅当平面上有5个点它们两两互相连接，需要我们用5种不同颜色来区分它们，由此可将命题1等价为

等价命题2：

平面上有任意多点，这些点必须满足条以下两个条件：

条件1：点与点之间连接线互相不能交叉

条件2：如果两点相连接，则这两点必须用不同的颜色以示区分。

证明平面上不存在这样的五个点：它们两两互相连接，因而需要五种颜色来区分它们。

对于等价命题2的证明如下：

平面上任何两两互相连接且连接线不相交的四点所构成的几何图形同构于如下图1所示：

图1

该几何图形存在着一个封闭点D，并构成区域ABD，BCD和ADC。

现在考虑增加第五点E，存在两种情况：

1. E点在区域ABD，BCD和ADC这外

   由于D点是封闭点，E点不可能与D点相连接且不与AB，BC，AC之任一条相交。

2. E点在区域ABD，BCD和ADC的任一个之中。

由于E点区域之中，则不可能与区域之外的另一点相连接而不与组成区域的边相交。

综合以上所述，不存在同满足条件的任意五点。因此不需要第五种颜色来区分。

曹建平