| 亲和数猜想 |
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| 作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2006-5-16 19:36:55 |
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与完全数有关的是亲和数。如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，2000多年后，费尔马才发现了另一对亲和数：17296和18416。法国另外一位数学家笛卡尔发现了当时最大的一对亲和数：9363548，9437056。十八世纪的欧拉找到了三对亲和数：2620与2924，5020与5564，6232与6348。100多年后的1866年，意大利少年尼克劳.帕格尼尼发现了欧拉错过的更小的一对亲和数：1184与1210。
亲和数的研究主要有两方面：
（1）寻找新的亲和数。
（2）寻找亲和数的表达公式。
关于后一项工作，早在9世纪，阿拉伯的学者泰比特（Tabitibn Qorra）就提出了一个构造亲和数的公式：如果三个数：p=3*2^(n-1)-1,q=3*2^n-1,r=9*2^(2n-1)-1都是素数，且p,q>2,则2^npq和2^nr就是一对亲和数。例如，取n=2,得p=5,q=11,r=71,则2^2*5*11=220和2^2*71=284是一对亲和数。
到欧拉为止，人们研究的都是偶亲和数，欧拉是第一位系统研究奇亲和数的数学家。他给出了构造亲和数的一些方法，并证明奇亲和数是存在的。例如：a=3^2*5*7*13*17=69615 和 b=3^2*7*13*107=87633 就是一对奇亲和数。
现在人们已经知道几千对奇的，偶的亲和数了。
人们还发现每一对奇亲和数中都有3，5，7作为素因数。1968年波尔.布拉得利（P.Bratley）和约翰.迈凯（J.Mckay）提出：所有奇亲和数都是能够被3整除的。1988年巴蒂亚托(S.Battiato）和博霍（W.Borho）利用电子计算机找到了不能被3整除的奇亲和数，从而推翻了布拉得利的猜想。他找到了15对都不能被3整除的奇亲和数，最小的一对是：a=s*140453*85857199 和 b=s*56099*214955207 其中s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.将各个因数乘起来a=353804384422460183965044607821130625和b=353808169683169683168273495496273894069375.
它们都是36位大数。作为一个未解决的问题，巴蒂亚托等希望有人能找到最小的。另一个问题是是否存在一对奇亲和数中有一个数不能被3整除。
还有一个欧拉提出的问题，是否存在一对亲和数，其中有一个奇数，另一个是偶数？因为现在发现的所有奇偶亲和数要么都是偶数，要么都是奇数。200多年来尚未解决。
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