| 费尔马数猜想 |
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| 作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2006-5-16 19:36:22 |
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设m=pk,其中p为奇数，则2^m+1=(2^k)^p+1必能被2^k+1整除，因此，要使2^m+1是素数，则m不能含有奇数因子，即m=2^n,从而2^m+1=2^2^n+1,这样形式的数称为费尔马数，并记为Fn=2^2^n+1，费尔马发现，F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537都是素数，于是他认为形如Fn=2^2^n+1的数都是素数。但是他没有给出证明。有人认为费尔马是根据费尔马小定理的逆定理成立的条件下，得出那个结论的。即，如果2^(N-1)-1能被N整除，则N是素数。取N=Fn=2^2^n+1,和k=2^(2^n-n-1),则N-1=2^2^n=k*2^(n+1),2^(N-1)-1=2^(k*2^(n+1））-1，于是2^(N-1)-1能被2^2^(n+1)-1整除，但是2^2^(n+1）-1=（2^2^n+1)(2^2^n-1),能被N=Fn=2^2^n+1整除，所以2^(N-1)-1能被N整除，N应该是素数，即Fn=2^2^n+1都是素数。但是费尔马小定理的逆定理不成立，所以费尔马的这个猜想是错误的。
果然，在1732年，欧拉对费尔马数F5=2^2^5+1进行了深入的研究，发现F5=641*6700417,从而推翻了费尔马猜想，这是费尔马一生中唯一的一个错误的猜想。
大约1770年，欧拉证明了，如果a与b是互素的正整数，则a^2^n+b^2^n的因子或者是2，或者具有k*2^(n+1)+1的形状。如果取a=2,b=1则费尔马数Fn=2^2^n+1的因子必具有形状k*2^(n+1)+1的形式。1877年，法国数学家吕卡证明了其中的k必是偶数。即费尔马数的因子有形状：k*2^(n+2)+1,今天我们称这为欧拉-吕卡定理。
到目前为止，再也没有发现一个费尔马数是素数，那么到底还有没有费尔马素数？即费尔马素数是有限个还是无限个？这就是今天的费尔马数猜想。
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