设p1,p2,p3,...pn是前n个素数，按照欧几里的的证明素数有无穷多的方法，取：En=p1p2...pn+1,也可取en=p1p2...pn-1,那么
En,en本身就可能是素数，这样的素数能有多少个？是否有无穷多？直到1995年4月，人们在pn<35000范围内，共发现了18个这样的pn：2，3，5，7，11，31，379，1019，1021，2657，3229，4547，4787，11549，13649，18523，23801，24029，使得En为素数。发现17个pn:3,5,11,41,89,317,337,991,1873,2053,2377,4093,4297,4583,6569,13033,15877,使得en为素数。
随着pn的增大，对应的En和en都迅速增大，例如对应pn=24029的En=2*3*5*7*...*24029+1,它是一个10387位数，高速电子计算机花费了4天的时间才确定是素数。而pn=15877对应的en=2*3*5*7*...15877-1是6845位数，计算机耗时近两天才确定它是素数。
设p是大于En的最小素数，福琼（R.F.Fortune）猜想：“Fn=p-En+1对于任意自然数n都是素数”。例如：
E1=2+1=3,p=5,F1=5-3+1=3;
E2=2*3+1=7,p=11,F2=11-7+1=5
E3=2*3*5+1=31,p=37,F3=37-31+1=7
E4=2*3*5*7+1=211,p=223,F4=223-211+1=13
E5=2*3*5*7*11+1=2311,p=2333,F5=2333-2311+1=23
E6=2*3*5*7*11*13+1=30031,p=30047,F6=30047-30031+1=17
......
接下来的n=7,8,9,...21时对应的Fn=19,23,37,61,67,61,71,107,59,61,109,89,103,79.
人们普遍认为福琼猜想是正确的，但是在短期内无法确定。受欧几里的证明的启发，后人又用Nn=n!+1或Mn=n!-1也一样能证明素数无穷多的论断。在n<4580范围内，人们发现了17个n值：1，2，3，11，27，37，41，73，77，116，154，320，340，399，427，872，1477，使Nn是素数。发现20个n值：3,4,6,7,12,14,30,32,33,38,94,166,324,379,469,546,974,1963,3507,3610使得Mn为素数。
那么，形如Nn=n!+1,Mn=n!-1的素数是否有无穷多个？这是人们关心的另一个问题。
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