们注意到克拉茨迭代所得的C数列中,取奇数的项更为重要,因此,人们引进了简化克拉茨函数:
C(x)=(3x+1)/2e(x)
其中e(x)是3x+1所含的素因子2的个数.例如,当x=29时,3x+1=88=23*11,e(29)=3,对应的简化C数列为
11,17,13,5,1,1,...
路径由原来的18减少到5,更有利于C迭代的研究.
一般地,设a,b是正整数,a>1,且b为奇数,广义克拉茨函数是C(x)=(ax+b)/2e(x)
其中x取正奇数,e(x)是ax+b所含素因子2的个数.显然,a=3,b=1就是3x+1问题.
ax+b问题就是,对于任何一个正奇数x,经过有限次的广义C迭代最终是否可得到1?
令人感到意外的是,ax+b问题有可能以否定的形式而解决,人们估计下面的ax+b猜想是正确的:
除了a=3,b=1(即3x+1问题)外,对于其他的正整数a,b(a>1,b为奇数)都可以找到一个正奇数r,使得r的广义C迭代中始终不出现1.
实际上,取r=bt(t为任意正奇数),则
C(r)*2e(r)=ar+b=(at+1)b
如果b>1,则C(r)必能被b整除,从而r的广义C数列各项都能被大于1的数b整除,永远的不到1,此时,猜想是正确的.
如果b=1,则当a为偶数时,C(x)*2e(x)=ax+1恒为奇数且C数列是递增的,C迭代不会得到1,而当a是奇数时,ax+1猜想就是:
对于给定的奇数a>3,必定存在某个正奇数r,使得r的广义C迭代,即C(x)=(ax+1)/2e(x)不出现1.
1978年,克兰多尔已经证明,当a=5,181,1093时候,上述猜想是正确的.
(1)5x+1问题:C(x)=(5x+1)/2e(x)
取r=13,则r的广义C迭代数列是33,83,13,33,...出现循环(33,83,13),不出现1.
(2)181x+1问题:C(x)=(181x+1)/2e(x)
取r=27,则r的广义C迭代数列是611,27,611,27,...出现循环(611,27),不出现1.
(3)1093x+1问题:C(x)=(1093x+1)/2e(x)
取s=(2364k-1)/1093(其中k为任意自然数),则1093+1=2364k,故e(s)=364k,C(s)=1.可以证明这是1093x+1问题中能达到1的仅有的一祖数,而对于其他任何正奇数r(不等于s),则C迭代可以无限地进行下去,永远得不到1.
此外,有人研究了7x+1问题,对于r=3的迭代项数已经超过102000,仍然看不出任何重复的迹象,看来7x+1猜想很可能也是正确的.但还没有从理论上加以证明.
到目前为止,ax+1问题远未解决.
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