问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1?据说克拉茨(L.Collatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题.
    克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑.
    日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆兰(M.Vermeulen)已经对5.6*1013的自然数进行了验证,均未发现反例.题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家.著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.
    下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远.

克拉茨命题:设 n∈N,并且

     现用f¹(n)表示f(n),f²(n)=f(f(n)),...f^k(n)=f(f(...f(n)...)).
     则存在有限正整数m∈N,使得f^m(n)=1.(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)

克拉茨命题的证明

    引理一:若n=2^m,则f^m(n)=1 (m∈N)

      证明:当m=1时,f(n)=f(2)=2/2=1,命题成立,设当m=k时成立,则当m=k+1时,f^k+1(n)=f(f^k(2^k+1))=
               =f(2)=2/2=1.证毕.

    引理二:若n=1+4+4²+4³+...+4^k=(4^k+1-1)/(4-1)   (k∈N),则有f(n)=3n+1=4^k+1=2^2k+2,从而f^2k+3(n)=1.

      证明:证明是显然的,省略.

    引理三:若n=2^m(4^k+1-1)/(4-1)       (m∈N),  则有f^m+2k+3(n)=1.

      证明:省略.

     定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 对于变换f(X)是封闭的.

    证明:对于任意自然数n,若n=2^m,则f^m(n)=1,对于n=2k,经过若干次偶变换,必然要变成奇数,所以我们以下之考虑奇数的情形,即集合O的情形.对于奇数,首先要进行奇变换,伴随而来的必然是偶变换,所以对于奇数,肯定要进行一次全变换.为了直观起见,我们将奇数列及其全变换排列如下:

     第一行(2k-1)经过全变换(3(2k-1)+1)/2=3k-1变成第二行,实际上等于第一行加上一个k,其中的奇数5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差数列3k-2,3k-1交错排列.由于最终都变成了奇数,所以集合O对于变换f(X)是封闭的.

    定理二:任何奇自然数经过若干次变换都会变成1.

    证明:

    我们看到 奇数经过全变换变成为3k-1型数,3k-1型奇数经过全变换有一半仍然变成3k-1型奇数,而另一半3k-1型偶数经过除以2有一半变成为3k-2型奇数,而3k-2型奇数经过全变换又变成为3k-1型数.换句话说不可能经过全变换得到3k-2型数.
    下面我们只研究奇数经过全变换的性质,因为对于其他偶数经过若干次偶变换,仍然要回到奇数的行列里来.
    我们首先证明奇数经过若干次全变换必然会在某一步变成偶数.
    设2a₀-1是我们要研究的奇数,它经过全变换变成3a₀-1,假设它是一个奇数并且等于2a₁-1,2a₁-1又经过全变换变成为3a₁-1=2a₂-1,3a₂-1=2a₃-1,...3a_k-1-1=2a_k-1,所以a₁=(3/2)a₀,a₂=(3/2)a₁,...a_k=(3/2)a_k-1.
    所以最后a_k=(3/2)^ka₀,要使a_k是整数,可令a₀=2^kn,(n是奇数).于是a_k=3^kn.则从2a₀-1经过若干次全变换过程如下:
    2^k+1n-1 -> 3*2^kn-1 -> 3²*2^k-1n-1 -> 3³*2^k-2n-1 ->... -> 3^k+1n-1 (偶数).

    然后我们证明经过全变换变成偶数的奇数一定大于该偶数经过若干偶变换之后得到的奇数.
    设3^k+1n-1=2^mh (h为奇数),我们要证明 h<2*3^kn-1:
    h=(2*3^kn-1+3^kn)/2^m<2*3^kn-1,令a=3^kn,b=2^m-1,则有 2ab>a+b,而这是显然的.

    定义:以下我们将称呼上述的连续全变换紧接着连续的偶变换的从奇数到另外一个奇数的过程为一个变换链.

    接着我们证明奇数经过一个变换链所得的奇数不可能是变换链中的任何中间结果,包括第一个奇数.

    若以B(n)表示奇数n的变换次数,m是n经过变换首次遇到的其他奇数,则有

    定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是满足3n+1=2^km的非负整数.

    证明:n经过一次奇变换,再经过k次偶变换变成奇数m,得证.
    举例来说,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17