153=1³+5³+3³   371=3³+7³+1³   370=3³+7³+0³   407=4³+0³+7³

他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:

  1634=1⁴+6⁴+3⁴+4⁴  54748=5⁵+4⁵+7⁵+4⁵+8⁵    548834=5⁶+4⁶+8⁶+8⁶+3⁶+4⁶

像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?
  1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.
  设 An 是这样的回归数,即:

   An=a1a2a3...an=a1ⁿ+a2ⁿ+...+anⁿ  (其中 0<=a1,a2,...an<=9)

   从而  10^n-1<=An<=n9ⁿ  即 n 必须满足 n9ⁿ>10^n-1  也就是  (10/9)ⁿ<10n       ⑴

   随着自然数 n 的不断增大,(10/9)ⁿ 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:

   (10/9)⁶⁰=556.4798...<10*60=600        (10/9)⁶¹=618.3109...>10*61=610

   对于 n>=61,便有  (10/9)ⁿ>10n

由此可知,使⑴式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:

   一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
   二位回归数:不存在
   三位回归数:153,370,371,407
   四位回归数:1634,8208,9474
   五位回归数:54748,92727,93084
   六位回归数:548834
   七位回归数:1741725,4210818,9800817
   八位回归数:24678050,24678051
但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?

附:九妹，九妹，你在哪里？？

———花朵数畅想曲

高 源

九妹，你在哪里，我们找你找的好苦啊！一天又一天，一夜又一夜，盼你，怨你，恨你，爱你，总想与你相见，你却总是不肯露面，你究竟在哪里吗？为什么如此真诚的追寻，你也不会出现！！

大妹夜百荷数（ 1,2,3,4,5,6,7,8,9），在我小时候就与我一起玩耍，同我们做游戏 。二妹菊花数，在我上初中时，就陪我到数学小湖中摇荡。三妹水仙花数，在我上高中时，来到我们的身旁，她说：“我们是从英国回来的， 英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)发现了一种有趣的现象:

    153=1³+5³+3³   371=3³+7³+1³   370=3³+7³+0³   407=4³+0³+7³

他对我们就大感兴趣，把我们介绍到世界各地，不论谁见到我们，都对我们特别喜欢，因为我们等于自己各位数字的三次幂之和,这种巧合那能不令人感到惊讶呢？”自从见到水仙花数后，我就爱上了你们这一神秘的大家庭。

上了大学，我又认识了桃花数（1634,8208,9474），我喜欢这四位与四次方相吻合的奇妙： 1634=1⁴+6⁴+3⁴+4⁴。这时，我下定决心要进入你们的天国，我如痴如醉地欣赏着你们，为你们写了不少爱恋的日记。

终于我找到了你们大家庭中的五妹梅花数， 54748=5⁵+4⁵+7⁵+4⁵+8⁵ ，当然是我给她命名的，因为那时，我与一位叫做情雪梅子的姑娘认识了。我喜欢她，就象喜欢你们。

我参加了工作后，与江苏如皋的一位朋友，一起去你们的花园游荡。我们将你们姐妹五个全部请来，在学报上给所有的朋友展示你们的丰采：

一位花朵数:1,2,3,4,5,6,7,8,9 (夜百荷数)
二位花朵数:（20，4，16，37，58，89，145，42）(菊花数)
三位花朵数:153,370,371,407(水仙花数)
四位花朵数:1634,8208,9474(桃花数)
五位花朵数:54748,92727,93084(梅花数)

所有的朋友见到你们，都为你们的美妙叫好。可是他们说，为什么不把六妹、七妹叫来，我非常惭愧，因为我的才能不够资格啊！
           548834=5⁶+4⁶+8⁶+8⁶+3⁶+4⁶

我爱雪，许多人说，我就是雪。于是，当我把一篇《静悄悄的雪》的散文写好后，我说，“我是白白的山石，就象白白的雪花，数也数不清”，真的，没想到，“我 （ 5）是（4）白（8）白（8）的山（3）石（4）”，就是你们唯一的六姐妹——雪花数 548834，我只是想随便找一个六位数，这里没有什么道理，可是偏偏 548834=5⁶+4⁶+8⁶+8⁶+3⁶+4⁶ ，这真是一个奇迹啊！从此次后，我便认为，花朵数女儿王国的白马王子，肯定是我了，我自豪地在这个王国里漫游。

于是，我对花朵数作了详细的概括：像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂花朵数.这种花朵数,可爱美妙,你不去痴心地追寻，她是不会来到你的天地的。有人自然要问:对于什么样的自然数 n 有花朵数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有花朵数,那么有多少个花朵数?
花朵数的王国里，真的有多少个姐妹，我起初以为，那可能无穷无尽吧。但1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为花朵数的 n 只有有限个.
设 An 是这样的花朵数,即:

An=a1a2a3...an=a1ⁿ+a2ⁿ+...+anⁿ  (其中 0<=a1,a2,...an<=9)

从而  10^n-1<=An<=n9ⁿ  即 n 必须满足 n9ⁿ>10^n-1  也就是  (10/9)ⁿ<10n       ⑴

随着自然数 n 的不断增大,(10/9)ⁿ 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:

  (10/9)⁶⁰=556.4798...<10*60=600        (10/9)⁶¹=618.3109...>10*61=610

   对于 n>=61,便有  (10/9)ⁿ>10n

由此可知,使⑴式成立的自然数 n≤60.故这种花朵数最多是60位数.

　 迪拉那的话,使我震惊了，原来花朵数的王国里只开放着60朵鲜花。60，多么有趣的数字啊，一时是60分，一分是60秒，等边三角形的内角和是60度，中国的天干地支纪年，也刚好是60年一个循环。于是，我决定，哪怕走遍世界各地，我也要把60朵美丽的花朵数，召集一起，让她们聚会，让她们一起开放！！

找啊找，我在春天的玫瑰树下，找到了七位花朵数:1741725,4210818,9800817（玫瑰数）；我在万花山的牡丹园中，遇上了八妹牡丹数： 24678050,24678051；于是我登上了凤凰山，高兴地在背洼洼上观赏山丹丹，我唱着，走着，看着到处开放的红红的山丹丹花，我突然觉得，我下一步找寻的九妹——九位花朵数，就是这灿烂的山丹丹数了。于是，我在山坡坡里，在沟渠渠间，到处找寻我那心中的九妹。

九妹，九妹，你在哪里？日夜思念，时时期盼，总是不见你那的漂亮的芳容，多少月多少年了，我找寻得人已焦悴，可到如今，还没有把你找回，你的八个姐姐，一直等待你的回归，她们在盼望着众多姐妹大团聚的一天。

于是，我给花朵数的女儿王国的八姐妹，利用现在的网络现代化，出一个《找寻启示》，谁如果看到了我们可爱的九妹，千万让她快点回来，就说我们在日夜思念着她！！

花朵数八姐妹：

一、夜百荷数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
二、菊花数:（20，4，16，37，58，89，145，42）
三、水仙花数:153,370,371,407
四、桃花数:1634,8208,9474
五、梅花数:54748,92727,93084
六、雪花数:548834
七、玫瑰数:1741725,4210818,9800817
八、牡丹数:24678050,24678051

九、九妹——山丹丹数：？？？？？？？？？

我们一直在问：
对于一个自然数 n ≤60还有花朵数吗?对于已经给定的 n ,能有多少个花朵数?最大的花朵数是多少?

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2001年3月21日
四川
李文　liwen39@hotmail.com 地说：





九妹只有四个，她们是：146511208 472335975 534494836 912985153
十妹只有唯一一个，她是4679307774
其它8以下花朵数全部答案如下：
24678050 24678051 88593477
1741725 4210818 9800817 9926315
548834
54748 92727 93084
1634 8208 9474
153 370 371 407

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2001年3月22日
李文　liwen39@hotmail.com 地说：




昨天晚上找完了二十二以内的全部答案,序号
3 153 370 371 407
4 1634 8208 9474
5 54748 92727 93084
6 548834
7 1741725 4210818 9800817 9926315
8 24678050 24678051 88593477
9 146511208 472335975 534494836 912985153
10 4679307774
11 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 49388550606
注十一妹共有八解,是现在发现解最多的一组.
12 十二妹无解
13 十三妹无解 0564240140138(只有广义解一组)
14 28116440335967
15 十五妹无解
16 4338281769391371 4338281769391370
17 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(广义解)
18 十八妹无解
19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039
20 14543398311484532713 63105425988599693916
21 128468643043731391252 449177399146038697307
22 二十二妹无解


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几天奋战,花朵数研究硕果累累,纪录一破再.

花朵数结论:

一.N位数（N是大于0的整数）(第一位数不为零),如各位数的N次幂和等于它本身,这样的数叫花朵数,为了与下面的广义花朵数、循环圈花朵相区别，我们叫这样的花朵数为完整花朵数。
1、完整花朵数最大位数不超过60位。
2、在60位以内，有的完整花朵数是不存在的，现已经证明，12、13、15、18、22不存在完整花朵数。
3、现基本找齐30以内的完整花朵数，已找到的最大的完整花朵数为32位数：17333509997782249308725103962772。

二、N位数（N是大于0的整数）(第一位数可以是零),如各位数的N次幂和等于它本身,这样的数叫广义花朵数。
1、广义花朵数最大位数可以超过60位，是不受位数限制的。
2、对于任意的N，N位广义花朵数不一定存在，现已经证明，12、15、18、22等广义花朵数也是不存在的。
3、现基本找齐60以内的广义花朵数，已找到的最大的广义花朵数为56位数：02193762240761908392137860899658607674401938496187046968

三、循环圈花朵数，我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数（周期）为1次的循环圈花朵数。那么，一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵数。当N是大于0的整数时：
1、对于任意N位数，N次幂来说，循环圈花朵数一定存在，至少有一个圈存在，如N等于2。
2、对于任意N位数，N次幂来说，最小的圈循环次数（周期）（1本身也是一个特殊的循环圈花朵数，除开1这个数之外）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N来说不一样，如N＝12时，最小的圈是5，它们是：
785119716404(5次)，
381286065015，
142281334933，
351184701607，
098840282759，
N＝18时，最小的圈是2，它们是：
187864919457180831，
375609204308055082，
3、对于任意N位数，N次幂来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数，非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1，因此，1是循环次数（周期）为1次的循环圈花朵数，也是圈内数。对于任意N位数，N次幂来说，可将N位数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。

四、一般地广义来讲，对于任意一个数（可以在有理数范围，且不受位数限制），
对正整数N（可也是0）次幂运算来说。
1、至少存在一个圈，如N＝0，只有一个圈，圈上数为1，其它所有的数，经过一次运算后，即进入圈。
2、对于一定的N来说，圈子的个数是定值。
3、对于一定的N来说，最小的圈除1之外，最小的圈循环次数（周期）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N不一样，如N＝12时，最小的圈是5。
4、对于一定的N来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
5、对于N次幂来说，可将所有的有理数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。

完
李文
2001.3.26

附答郭先强先生：
当N＝10时，完整花朵数只有唯一一个，1次循环圈花朵数也只有它一个。现在我的程序可以计算出或计算清楚10次幂的所有循环圈花朵数。对于10次幂以内的所有循环圈花朵数，大概耗时1个小时左右。15次幂以内的所有循环圈花朵数也可以计算清楚，耗时要长一些。15次幂以上，要算清楚耗时太长，也就是说还比较困难。30次幂以内的广义花朵数的搜索最多要十几个小时，因此，可以全部计算清楚。30次幂以上的广义花朵数的搜索耗时太长，现还无法计算清楚，只能作最大可能范围的搜索，即不完全搜索。