| 分整为半 |
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| 作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2006-5-16 19:40:42 |
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【分整为半】 |
鲍勃和海伦都热衷于解难题，他们的最大乐趣就是彼此用难题来难住对方和难倒他们的朋友。一天，鲍勃和海伦经过一家音响商店。鲍勃说，你的那些西部田园音乐唱片还在吗？海伦：没有了。我已经把一半唱片和半张唱片送给了苏席。然后我又把剩下的一半唱片和半张唱片送给了乔。我现在只剩下一张唱片了，假如你能说出我原来有几张西部田园音乐唱片，那么我就把这张送给你。
鲍勃给弄糊涂了，因为他怎么也不明白半张唱片还有什么用处。突然，他叫了一声。啊哈！他明白了，一张唱片也没有掰开过。他答出了这道难题，海伦就把最后一张唱片给了鲍勃。
你有没有上当，以为某物的一半加 1/2就不可能是一个整数？假如是这样的话，也许你会从掰开唱片的角度来考虑解决这个问题，那可就立即误入歧途了。啊哈！窍门在于看出：数量为奇数的唱片，取其一半再加上半张唱片，一定是一个整数。
因为海伦在最后一次送礼后只剩下了一张唱片，所以在她把唱片送给乔之前，一定有三张唱片。 3的一半为3/2，而3/2+1/2=2，所以海伦最后一次送礼是两张唱片，末了自己留有一张完整的唱片。现在倒过来往前算就很简单，她原来一定有七张唱片，给了苏席四张。
当然，这个问题可用代数方法求解。列出这个问题的方程式，然后求解。这是初等代数的一个很好的习题。不过令人惊奇的是，这么简单的小问题却要列出十分复杂的方程式：
x-（x/2+1/2）-[（x-（x/2+1/2））/2+1/2]=1
改变参数，很容易构成同类的新问题。例如，假使海伦遵循同样的赠送方式，每次把唱片总数的一半加半张唱片送给别人，但一共赠送三次而不是两次，最后全部送完，一张不留。那么她原来共有几张唱片呢？你会很有趣地发现，答案同上例完全相同，起初共有七张唱片！第三次送礼是把最后一张唱片也送给别人了。假如按照这样的依次“分半”办法送礼四次，最后还留下一张唱片，那么原来共有几张唱片呢？若送礼五次呢？这些数产生怎样的一个数列？
现在就来解这个问题：设x表示原来所有的唱片数，y是最后剩下的唱片数，y（n）是第n-1次送礼后所剩下的唱片数，那么有，
y（0）=x，y（n）=y（n-1）-（y（n-1）/2+1/2）=y（n-1）/2-1/2
解此递推公式得到 y =(y（0）+1）/2^n-1=（x+1）/2^n-1，所以原来有
x =（y+1）2^n-1 ①
每次送礼的分数量也可以变化.假如海伦每次送掉手中唱片数的三分之一加三分之一张唱片,送了两次以后发现还剩下三张唱片,那么她原来共有几张唱片呢?如果按照这种“三等分”办法送礼三次，最后自己留下三张唱片，此时是否有解？你会发现，改变参数——赠送次数、分数量和最后留存的整张唱片数——在不掰开唱片的意义上，并非全有解。那么，在什么样的限定条件下既能解决这类问题又不必掰开一张唱片呢？
一般地，每次送出手中唱片的 m分之一再加上一张唱片的 m分之一，如果最后剩下 y张，则原来有唱片数为：
x=（y+1）（m/（m-1））^n-1 ②
显然，等式右边通常是一个有理数，因为m与 m-1是互质的，要使得 x是整数，必须有（m-1）^n|（y+1），即最后剩下的唱片数加一必须等于（m-1）^n的倍数，即：
y=k（m-1）^n-1 （其中k是任意正整数） ③
同样，并不需要每次赠送时的分数量完全一样。例如，在下面这个难题里，分数量是不同的：
某个男孩好养金鱼，他决定把他的金鱼全部出售了，并分以下五次卖出：
第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；
第二次卖出剩余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；
第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；
第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；
现在还剩下11条金鱼。当然，在出售时金鱼是不能切开或者有任何破损的。他原来共有多少条金鱼？答案是59条。这个问题不像前面一些题目那样容易解答，请你试试看，能否解答出来。
设第 k次卖出现有金鱼的k+1分之一加k+1分之一条金鱼，则有：
x=（y+1）n！/（n-1）！-1 ④
现在 y=11，n=5，所以x=（11+1）5！/4！-1=12*5-1=59条。
下面是一个大同小异的题目。
某女士钱包里有一定数量的整元钞票，身边没带零钱。
1.她花了一半钞票买了一顶帽子,给店门口的乞丐一元钱;
2.用膳花去余下钱的一半,另外给了侍者两元钱小费;
3.她用余钱的一半买了一本书,回家前到鸡尾酒店去了一次,喝酒花了三元钱;
现在她还剩下一张一元钱的钞票。假设她没有把整元的钞票兑开过，那么她原来有多少钱？
设 x为原来的钱数，y是最后剩下的钱数，y（n）是花了 n-1次钱之后所剩下的钱数。则有：
y（0）=x，y（n）=y（n-1）-y（n-1）/2-n
解此差分方程，得到：
x=（y + 2n-2）2^n + 2 ⑤
在本题目中，n=3，y=1，故 x=（1+2*3-2）2^3+2=42
如果每次给的小费、施舍和酒钱不是 n，而是 a（n），则有
y（n）=y（n-1）-y（n-1）/2-a（n），y（0）=x
其解是：
x=y*2^n+（2a（1）+4a（2）+···+2^na（n）） ⑥
对于本题，y=1，n=3，a（1）=1，a（2）=2，a（3）=3，故 x=1*2^3+（1*2+2*4+3*8）=42
值得注意的是，在上述各例中都已知最后剩余的数目。若是不知道这一数目，问题一般也是能够解决的，不过可能需要在整数范围内解不定方程。最著名的一个类似问题曾经作为美国作家本·艾姆斯·威廉斯写的一个小故事的根据，这个故事刊登于1926年10月9日的《周末晚报》上。
这个故事名为“椰子”，说的是五个男人和一只猴子因翻船而来到一个小岛上。第一天，他们花了一天功夫来采椰子。夜里，有一个人醒来了，他决定取走自己的一份椰子。于是他把椰子平分成五堆，结果还剩下一只椰子，他便把它给了猴子。然后他把自己的一份藏好，就回去睡觉了。过了一会儿，第二个人也醒来了，也干了同样的事情。他把椰子平分成五堆，也剩下一只椰子，他把它给了猴子。然后他把自己的一份藏好，也回去睡觉了。以后，第三个人、第四个人和第五个人一点儿不差地全都这样做了。第二天早上他们起身之后，把剩下的椰子平分成五份，这次就没有剩余的椰子了。问他们原来采了多少只椰子？
这个问题有无数个答案，最小的答数是3121。这不是一个简单的题目。
设 x是原来的椰子数，y（n）是第 n个人拿走的椰子数，则有：
y（0）=x=5y（1）+1，4y（n-1）=5y（n）+1 （n=2，3，...5）
4y（5）=5k （k为最后分成的五份每份的个数）
解出该方程，有：
x=(5k+4)(5/4)^5-4 ⑦
显然，要使x是整数，应该有 5k+4=h*4^5 ,其中h是任意正整数，当h=1时，k有最小值204，这时，x=5^5-4=3125-4=3121
如果不是5个人，而是n个人，那么其解是：
x=（nk+n-1）（n/（n-1））^n-（n-1） ⑧
显然应该有（n-1）^n|（nk+n-1），即（nk+n-1）是（n-1）^n的倍数，即：（nk+n-1）= h（n-1）^n （其中 h是任意正整数）
附录：线性非齐次差分方程的通解
方程：a2f（n+2）+a1f（n+1）+a0f（n）=0 称为线性齐次差分方程。
若其特征方程：
a2x2+a1x+a0=0
有两个不同的根α，β，则齐次解为：
f#（n）=c1αn + c2βn
若其特征方程：
a2x2+a1x+a0=0
有两个重根α，则齐次解为：
f#（n）=（c1+ c2n）αn
方程：a2f（n+2）+a1f（n+1）+a0f（n）= q（n）称为线性非齐次差分方程。
现在引入差分算子Δ和移位算子E：
Δf（n）=f（n+1）-f（n）
E f（n）=f（n+1）
显然有Δ=E-1，定义算子多项式 F（E）=a2E2+a1E+a0，
方程：a2f（n+2）+a1f（n+1）+a0f（n）= q（n）可以写成：F（E）f（n）= q（n）
方程：F（E）f（n）= q（n）的特解：f~（n）=q（n）/F（E）
方程：F（E）f（n）= q（n）的通解：f（n）=f#（n）+f~（n）
下面介绍特解的求法，有如下一组公式：
1。C/F（E）=C/F（1） （注：C为常数，F（1）≠0）
2。an/F（E）=an/F（a） （注：F（a）≠0）
3。若F（a）=0，则 an/F（E）=nan-1/F'（a） （注：F'（a）=DF（x）|x=a≠0，其中D为微分算子）
4。anp（n）/F（E）=an[p（n）/F（aE）] （注：[]表示运算只对于括号内部起作用）
5。nk/F（E）=（d0+d1Δ+...+dkΔk）nk （注：1/F（E）=1/F（Δ+1）= d0+d1Δ+...+dkΔk +...）
6。sin（nβ）/F（E）=F（E-1）sin（nβ）/{（F（cosβ））2 + （F（sinβ））2}
7。cos（nβ）/F（E）=F（E-1）cos（nβ）/{（F（cosβ））2 + （F（sinβ））2}
（注：在6。、7。中的分母上，在展开时，要将coskβ、sinkβ改写成coskβ、sinkβ）
例：解差分方程：f（n+1）- f（n）=2n f（0）=0
齐次解为：f#（n）=c1
特解：f~（n）=2n /（E-1）=2n /（2-1）= 2n
通解：f（n）=c1 + 2n
由于f（0）= 0，所以 0 = c1+ 1
解之得到 c1 = -1
最后：f（n）= 2n -1 |
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