比如，对题目A常常有以下两种转化形式：

AÛBÛC…GÛH；

AÜBÜC…ÜGÜH。

转换这种重要的思维策略有着广泛的应用，这首先取决于数学本身是客观世界的空间形式和数量关系的反映，矛盾与对立不断地处于转化与统一之中，在数学知识体系中充满了转换：通过符号法则，有理数四则运算就转换成算术运算；解方程就是应用消元、降次的方法的一种转换；平面图形通过延拓、折迭构成了空间形体；而空间中的问题通常要转换成平面的来研究；在证明了两角和的余弦公式后通过对角的转换可以得到一系列的和角、差角、倍角、半角的三角函数公式。在解题中转换更是一种重要的策略和基本的手段。通常的转换有厂面几种。

1.把需要解决的问题从一个陌生的情境转换成熟悉的、直观的、简单的问题

例 一个街区有 5条横街 5条纵街，一个人从左上角 A处出发依最短途径走到右下角B处，共有多少种不同的走法？

评析：如果要具体计算各种不同的走法，将会不胜其繁，因为在多数街道的交叉口，按照最短途径的要求行人都只有二种可能的选择：向右走横街或向下走纵街，而不许走向左或向上，因此不易直接求解。但当我们考虑行人从A到B的每一条最短途径都由4段横街和4段纵街构成，因而每一种走法都对应一种这4横4纵的有序排列，反之亦然。因此，所求的不同的最短

2.特殊到一般，一般到特殊的转换

从特殊到一般，从具体到抽象是研究数学的一种基本方法，在一般情况下难以发现的规律，在特殊条件下比较容易暴露，而特殊情况下得出结论、方法也往往可推广到一般场合，所以特殊和一般之间的转换可以用来验证命题的正确性，探索解的途径。

3.数、形之间的转换

这是一种重要的，并被广泛使用的转换。

大量数式问题潜在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法。有时画一个图形给问题的几何直观描述，从数式形的结合中易于找出问题的逻辑关系。

4.映射法

如果数学命题（或问题）在原集合A中直接解决比较困难，可以运用某种法则把它映射到另一个集合B中去，得到一个对应的映射命题（或问题），然后在B集中讨论并解决映射问题，再把解决的结果逆映射到原集中来，从而使原命题获得解决。这种转化方法称为映射法。用映射法转化，关键在于适当地选择映射法。一般地，只要映射法则选择得当，映射问题总是易于解决的，特别地，只要A集与B集能建立一一映射，则产生的新命题（或问题）与原命题（或问题）一定等价。此时逆映射过程往往可以省略，这就更加简单了。

5.构造法

有些命题（或问题）直接解决遇到困难，通过分析具体命题（或问题），设想构造一个与原命题（或问题）相关的新命题（或问题），通过对新命题（或问题）的研究达到解决原命题（或问题）的目的，这种转化方法称为构造法。构造法是数学中最富有活力的数学转

化方法之一，通常表现形式为构造函数、构造方程、构造图形等。

例1  试证定义域关于原点对称的任一函数总可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和的形式。

证：设f（x）为定义在（-l，l）内任意函数。

构造函数j（x）=f（x）+f（-x）.　

∵j（-X）=（-x）+f（x）=j（x）（-l≤x≤l），

∴j（x）是（－l，l）上的偶函数。

又构造函数j（x）=f（x）-f（-x）.

∵j（-x）=f（-x）-f（x）=-［f（x）-f（-x）］

=-j（x） （-l≤x≤l），

∴j（x）为（-l，l）上的奇函数。

j（x）+j（x）=f（x）+f（-x）+f（x）-f（-X）=2f（x），

∴f（x）=j［（x）+j（x）。

命题成立。

6.参数法

参数既是揭示变化过程中变量之间内在联系的媒介，又是刻划变化过程的数学工具。利用参数这一本质特性实现数学转化的方法叫参数法。经常运用参数法实现转化的形式有：引入参数将函数或方程变量个数减少；引入参数将问题的解决归结于对参数的讨论。

7.进退法

数学命题（或问题）就所论条件和结论而言往往有强与弱、复杂与简单、一般与特殊、常义与极端情形之分，为叙述简便统称前种情形为“甲种情形”，后种情形为“乙种情形”，若乙种情形的命题（或问题）不易解决，有时“进”一步先处理甲种情形的命题（或问题），因为甲种情况的命题（或问题）往往更能展示问题的本质属性，所以由此推出原命题（或问题）有时反而显得很容易。反之，若甲种情形的命题（或问题）不易解决，有时“退”一步先处理乙种情形的命题（或问题），因为乙种情形的命题（或问题）往往寓含着甲种情形的某些本质属性和求解规律，挖掘发现这些东西可以在处理方法和结论上获得解决甲种情形的有益启示，从而使甲种情形最终获得解决，这种转化方法本文称为“进退法”。如“不等价变换”实现命题（或问题）强与弱的转化，“降化归去”实现命题（或问题）复杂与简单的转化，“归纳法”实现命题（或问题）特殊与一般的转化，都是进退法转化具体运用形式，这是大家十分熟悉的，这类例子就不再列举了，现仅举其它几例，从中可见运用进退法转化的妙处。

例1  已知a、b、c∈（-1，1），求证：abc＋2＞a＋b＋c。

分析：因为a、b、c均为（-1，1）内的变量，不确定因素较多，情况复杂，不妨“退”一步先固定某些变量，［比如 b、C∈（-1，1）］以减少变量，使命题由复杂转化为简单，则有 abc＋2＞a+b＋cÛabc＋2-（a＋b＋c）＞0，记 f（a）=abc＋2-（a＋b＋c），a∈（-1，1）。现在只要利用一次函数性质证明 f（a）＞0即可。

证：∵b、c∈（-1，1），

∴be∈（-1，1），即bc-1＜0。

f（a）=abc＋2－（a＋b＋c）

＝（bc-1）a ＋（2-b-c）。

在（-1，1）上是递减函数。

又∵f（l）=（1-b）（1-C），且 1－b＞0，l-c＞0，∴f（1）＞0。

故a∈（1，1）上恒有f（a）＞0。

原不等式成立。

8.结构转换

这是一种比较高级、有一定难度的转换，是不同的解题构想的转换，主要通过数学模型来实行，表现出数学智敏和思维的创造性。

例  把边长为1的正△ABC，各边都n等分，过各分点作平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，各小三角形的顶点都称为结点，在每个结点上放置了一个实数。已知（1）A、B、C三点上放置的数分别为 a、b、c；（Ⅱ）在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数的和相等。

试求（1） 放置最大数的点与放置最小数的点之间的目短距离γ；

（2）所有结点上的数的总和S。

评析：关键是怎样确定在每一个结点上的管数。如能确定每个结点上置数的表达式，问题就迎刃而解了，而直接求出这个表达式是很困难的。如果在特殊情况下，a≠0， b＝c=0，那么置数就比较简单：在A点置数a，沿着与BC平行的格线均匀递减到零（当a＞0是递减到零，当a＜0是递增到零）。这样BC的结点的置数为零，在BC之上的n-1条平行线上结点的置

我们想到彩色套印术：用不同色彩的底板在同一张纸上可套印出彩色的画面，这提示我们可以转换解题的构想：已有一张置了a≠，b=c=0的网格，再构作两张，只是分别令b≠0，a=c=0与c≠0，a=b=0，同样的递减置数，当然也满足条件（Ⅱ），然后把三张网格顶点对应地套叠在一起，每个顶点上有三张网格的三个数对应着，取其和作为最终的置数，这样条件（Ⅰ）符合了，由于三张网格结点上的置数分别满（Ⅱ），其线性和当然也满足条件（Ⅰ）。于是可写出任一结点 P上置数的表达式 f（P）：设 P在 BC上面的第 i条平行线上，（P在BC上i=0， P为点A， 则i=n）

线上，在AB上面的第k条平行线上，则P在第二、第三张网结点的置数分别

（由平面知识易得i＋j+k=n）。

得到f（P）的表达式后，问题就易解了，对于（l）若a=b=c，则每一结点上的置数均相等，从而γ=0，当a、b、c不等时，不失一般性，分两种情形讨论：①当a＞b＞c时，有p｛f（p）｝=f（A）=a，p｛（f（p）｝=f（c）=c，∴γ=AB=1。②当a=b＞c时，则AB上结点的置数均为a（b），C点到AB上各结点的最小距离为γ当n为偶数时γ为C到AB中点的距离，当n为奇数时γ为C到离AB中点最近的格点的距离：

在本题中，通过“套色”这种形象的转换把条件分离出来，十分直观，易于为人理解接受，同时这种结构上的转换还反映出从整体到局部，从一般到特殊的关系。

9.等价法

由命题A（或问题A）可推出命题B（或问题B），反之，命题B（或问题B）亦可推出命题A（或问题A）。即A与B互为充要条件时，称为A与B等价。利用这种等价性将原命题（或原问题）转化成易于处理的新命题（或新问题）的方法称为等价法。

产生等价命题（或问题）经常通过以下几种途径：更换等价的条件（或已知）和结论（或所求）；通过适当的代换；利用原命题与逆否命题的等价关系。

从以上的分析可以看出，转换的本质特征是知识和方法的迁移，这种迁移受一定条件的制约，从学习方法和认识规律来说，应该由以下几方面着手为联想与转换创造条件：（l）知识的容量要大，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集、积累联想、转换的实例。（2）逐步掌握数学的基本思想方法，由简单到复杂，由低级向高级、由模仿到创新。联想与转换通常以一定的技巧、技能作为它的存在形式，而技巧与技能的形式与数学思想方法关系密切，这样做一方面有利于牢固地掌握基础知识，同时又有利于思维品质的优化。（3）在学习中贯彻意义学习的原则，所谓意义学习就是新知识与学习者头脑中认识结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系，也就是说，学习活动要以不断发展和完善认识结构为目的。