8.5　抛物线及其标准方程

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[组图]8.5　抛物线及其标准方程

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8.5　抛物线及其标准方程

作者：未知文章来源：本站原创点击数：更新时间：2006-1-15

　　学习目标

1．理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程，并能根据条件确定抛物线的标准方程；
2．通过抛物线的定义的学习，加深离心率的理解，理解椭圆、双曲线和抛物线的统一定义；
3．通过对椭圆的标准方程的学习，培养数形结合、分类讨论、对比的思想．

知识讲解

（1）椭圆、双曲线、抛物线都是到定点的距离和到定直线的距离比为常数的点的轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，是它们的离心率．当，，时，这种轨迹分别表示椭圆、双曲线和抛物线．在直角坐标系下，它们的方程都是二次方程；这三种曲线都可以由平面截圆锥而得到．因而它们统称为二次曲线或圆锥曲线．

对抛物线定义的理解，应注意定点不在定直线上，否则抛迹是一条直线．

（2）在推导抛物线方程的过程中，要注意领会如何建立坐标系．由抛物线定义可知，直线是抛物线的对称轴，所以把作为轴可以使方程不出现的一次项；因为线段的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以的中点作为原点，就可以使方程中不出现常数项．这样建立坐标系，得到的方程较为简单．

（3）由于建立坐标系的方法不同，抛物线的方程有四种不同形式：

，，，．

教科书上对方程与图形的关系，各种标准方程下的焦点坐标和准线方程，列表进行了对比，从而我们可以归纳出以下几个要点：

①的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正数；

②方程有边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；

③焦点的非零坐标（指或）是一次项系数的．

④准线与坐标轴的交点与抛物线焦点关于原点对称．

（4）学习抛物线的标准方程时，应注意把位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来，注意以下两点：

①要把握顶点、对称轴、开口方向与方程形式的对应关系：

②已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时，可以根据二次项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p的数值来“定量”，即求出的值．然后把两者结合起来即可．

（5）要注意区分抛物线和双曲线的一支，初学者很容易将抛物线与双曲线的一支混淆．二者区别在于：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率（曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率）接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．

（6）处理直线与抛物线的位置关系，类似于处理直线与椭圆、双曲线的关系．一般地，处理直线与圆锥曲线的位置关系，都是通过研究方程组解的个数，用判别式来进行判别．其中有两个比较容易忽略的地方：

①是否考虑了没有斜率的直线；

②对于双曲线是否考虑了与渐近线平行的直线，对于抛物线是否考虑了与对称轴平行的直线．反应到方程上，就是是否考虑了消去一个未知数后得到的方程二次项系数是否会为0．要把直线与圆锥曲线相切和相交区分开来．

（7）关于圆锥曲线弦长的计算．设斜率为的直线交圆锥曲线于，，则计算的方法可以有以下几种：

①利用弦长公式

或计算；

②若过圆锥曲线的焦点，可利用匾锥曲线的几何性质简化运算，即将写成，再将，转换成，到相应准线距离的倍．

以上两种方法一般都要结合韦达定理来进行．

典型例题

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．

（1）（2）

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．

解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：

（2）原抛物线方程为：，

①当时，，抛物线开口向右，

∴焦点坐标是，准线方程是：．

②当时，，抛物线开口向左，

∴焦点坐标是，准线方程是：．

综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．

例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．

解法一：设、，则由：可得：

∵直线与抛物线相交，且，则

∵AB中点横坐标为：

解得：或（舍去）

故所求直线方程为：

解法二：设、，则有

两式作差解：，即

故或（舍去）

则所求直线方程为：

例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．

分析：可设抛物线方程为．如图所示，只须证明，则以 AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．

证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：

在直角梯形中：

，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

例4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．

（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．

分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．

解：（1）由得：

设直线与抛物线交于与两点．则有：

，即

（2），底边长为，∴三角形高

∵点P在x轴上，∴设P点坐标是

则点P到直线的距离就等于h，即

或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．

例5 已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．

分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明且即可．

证明：如图所示，连结PA、PN、NB．

由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．

∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有．

则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．

例6 若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：．

分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．

证法一：，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，

则有,．

若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：，且设．

由得：

①

②

根据抛物线定义有：

则

请将①②代入并化简得：

证法二：如图所示，设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，

又∽，

即

故原命题成立．

例7 设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为．

分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．

证法一：抛物线的焦点为，

过焦点的弦AB所在的直线方程为：

由方程组消去y得：

设，则

又

即

证法二：如图所示，分别作、垂直于准线l．由抛物线定义有：

于是可得出：

故原命题成立．

例8 已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求

（1）AB的倾斜角的取值范围．

（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．

分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．

解：（1）由已知得．故P到的距离，从而

∴曲线C是抛物线，其方程为．

设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点．

∴k存在．设AB的方程为

由可得：

设A、B坐标分别为、，则：

∵弦AB的长度不超过8，即

由得：

∵AB与椭圆相交于不同的两点，

由和可得：或

故或

又，∴所求的取值范围是：或

（2）设CD中点、、

由得：

则即．

化简得：

∴所求轨迹方程为：

反馈练习

一、选择题

1．抛物线的焦点坐标是（       ）．

A．          B．         C．       D．

2．已知点，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，取得最小值时点的坐标为（      ）．

A．（0，0）         B．          C．            D．（2，2）

3．设，是抛物线上的不同两点，则是弦过焦点的（      ）．

A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件

C．充要条件                           D．不充分不必要条件

二、填空题

4．点M与的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为_______．

5．设抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为10，则．

6．焦点在直线的抛物线的标准方程是________________．

三、解答题

7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长．

8．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线交于，两点，直线的倾斜角为，求证：．

9．是否存在同时满足下列两个条件的直线：①与抛物线有两个不同的交点，；②线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出的方程．

10．如果抛物线和圆相交，它们在轴上方的交点为、，那么当为何值时，线段中点在直线？

参考答案：

一、选择题：1．B   2．D   3．C

二、填空题：4．    5．8     6．或

三、解答题：

7．3.84米．

8．分、两种情况证明．

9．若存在直线，则垂直平分，所以．

设的方程为，代入

整理得，则中点为，

代入的方程得，故．

经检验满足，

故符合条件的直线存在，其方程为．

10．设，，，

由及可得．

因为，．

所以，．

又在直线上，所以，解得，

又由得或．

所以当时，线段的中点在直线上．

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