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[组图]8.4　双曲线的几何性质    热     ★★★ 【字体：小 大】
8.4　双曲线的几何性质
作者：未知    文章来源：本站原创    点击数：    更新时间：2006-1-15
 

学习目标

　

1．理解并掌握双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征．
2．进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比分析归纳的能力．
3．进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，能利用双曲线的定义、标准方程、几何性质，解决与双曲线有关的实际问题，提高分析问题与解决问题的能力．
4．通过根据双曲线的方程来研究双曲线的几何性质，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想．
[NextPage]

知识讲解

 

重点是双曲线的几何性质，难点是双曲线的虚轴、渐近线．关键是与椭圆的几何性质进行对比，找出它们的联系与区别，巩固怎样根据曲线的方程讨论曲线的性质．

双曲线几何性质的讨论，在方法上和椭圆几何性质的讨论完全一样．注意这两种曲线性质的异同．

（1）双曲线 ，在平行线 之外，分为两支，并且无限延展，不像椭圆那样是封闭图形．

（2）双曲线的对称性与椭圆的对称性完全一样．

（3）双曲线 和 轴有两个交点，和 轴没有交点， 是双曲线的虚轴长，不要把它和椭圆的短轴混淆，椭圆有四个顶点，而双曲线只有两个顶点．

（4）渐近线是刻画双曲线形状的一个重要几何量，对双曲线的渐近线的理解应注意以下几个地方：

①利用双曲线的渐近线，画双曲线的图形简图尤其方便且较为准确．只要做出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能很快地描出双曲线的简图；

②渐近线的记忆方法有两个：其一是按定义直接写出 的渐近线方程是 ；其二是将双曲线标准方程的右端改为0，得出渐近线方程为 ，即 ，也就是 ．

③双曲线 的渐近线方程是 ，但是以 为渐近线的双曲线方程不一定是 ，而可以是 ，即 为渐近线的双曲线，焦点可以在 轴，也可以在 轴上，而且有无数多条，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线就退化成它的渐近线．

（5）离心率 刻画了双曲线“张口”的大小，当 逐渐增大时，双曲线的形状就由扁狭逐渐变得开阔．

双曲线的第二定义与椭圆的第二定义完全类似，应注意定义中的常数 ．

掌握双曲线的几何性质，重点应抓住五点（两个顶点、两个焦点、一个中心）、六线（实、虚轴、两条渐近线、两条准线）、一率（离心率）．

（1）弄清五点六线的位置关系，特别要注意焦点和顶点都在实轴上，准线与实轴垂直并位于两顶点内则，两条渐线的交点就是双曲线的中心．

（2）弄清多元素间关系，在 ， ， ， ， ， 六个量中，可以知二求四．在图中，常见的关系式有：

， ， ，

（焦准距）．

．

两种标准方程下双曲线性质的双比

标准方程
焦点在 轴上
焦点在
轴上

图形

顶点坐标

，

，

范围

或 ，

* 或 ，

对称轴

*轴、 轴；实轴长、虚轴长．

 轴、轴；实轴长 、虚轴长．

对称中心

（0，0）

（0，0）

焦点坐标

，

，

焦距

离心率

渐近线

准线

在这些性质中，一类是与坐标系无关的双曲线本身的固有性质，如实、虚轴长、焦距、离心率等；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标，准线、渐近线方程．对于后一类性质，只要将 的有关性质中横坐标 和纵坐标 互换，就可以得到 的有关性质．

求双曲线的标准方程，一般是根据待定系数法．求解时应注意其方程具有哪种标准形式？有几解？另外要注意巧设方程形式，以避开讨论、简化运算．例如与 为渐近线的双曲线方程可设为 ，与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 ．

7．直线与双曲线的位置关系

它们的位置关系可由它们对应的方程组成的方程组解的个数来判定：

相交于两点 方程组有两组不同的实数解；

相交于一点 * 方程组有两组相同的实数解或只有一组实数解；

不相交 方程组无实数解．

这里应注意的是，把直线方程代入椭圆方程，解到的一定是一元二次方程；把直线方程代入双曲线方程，得到的可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程（这时二次项系数为0），它对应着直线与双曲线的一条渐近线平行．

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典型例题

 

例1 求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程及离心率．

解法一：双曲线 的渐近线方程为：

（1）设所求双曲线方程为

∵ ，∴                    ①

∵ 在双曲线上

∴                           ②

由①－②，得方程组无解

（2）设双曲线方程为

∵ ，∴                              ③

∵ 在双曲线上，∴            ④

由③④得 ，

∴所求双曲线方程为： 且离心率

解法二：设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为：

∵点 在双曲线上，∴

∴所求双曲线方程为： ，即 ．

评述：（1）很显然，解法二优于解法一．

（2）不难证明与双曲线 共渐近线的双曲线方程 ．

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数 ．

（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．

例2 作方程 的图象．

分析：∵ ，∴ ，∴

∴方程图象如右图，

即表示双曲线 的右支．

例3 作方程 的图象．

分析：∵

∴方程图象应该是圆 及双曲线 在 轴上方的图象．（画图请自行完成．）

评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线 的方程是 ，那么点 在曲线 上的充要条件是 ”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．

例4 求以曲线 和 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．

解：∵ ，∴ 或 ，∴渐近线方程为

当焦点在 轴上时，由 且 ，得 ．

∴所求双曲线方程为

当焦点在 轴上时，由 ，且 ，得 ．

∴所求双曲线方程为

评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．

（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．

例5 已知双曲线的渐近线方程为 ，两条准线间的距离为 ，求双曲线标准方程．

分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

解：∵双曲线渐近线方程为 ，∴设双曲线方程为

（1）若 ，则 ，

∴准线方程为： ，∴ ，∴

（2）若 ，则 ，

∴准线方程为： ，∴ ，∴

∴所求双曲线方程为： 或

评述：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．

（2）通过待定系数法求出参数 ．

例6 中心在原点，一个焦点为 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 ，求双曲线标准方程．

解：设双曲线的标准方程为 ，则 ，解得

∴ 为所求双曲线的标准方程．

评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．

例7求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点 且离心率为 的双曲线标准方程．

解：设所求双曲线方程为： ，则 ，

∴ ，∴ ，∴所求双曲线方程为

评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：

设等轴双曲线 ，则 ，∴

∴ ，∴

反之，如果一个双曲线的离心率 ．

∴ ，∴ ， ，∴ ，∴ ，

∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

例8已知点 ， ，在双曲线 上求一点 ，使 的值最小．

解：∵ ， ，∴ ，∴

设点 到与焦点 相应准线的距离为 则

∴ ，∴

至此，将问题转化成在双曲线上求一点 ，使 到定点 的距离与到准线距离和最小．即到定点 的距离与准线距离和最小为直线 垂直于准线时，解之得，点

评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

例9 已知： 是双曲线 上一点．求：点 到双曲线两焦点 、 的距离．

分析：利用双曲线的第二定义．

解：如图，设点 到相应焦点 、 的准线的距离为 、 ．

当 点在双曲线的右支上时， ，且有

∴ ，

当点 在双曲线的左支上时， ，且有

∴ ，

评述：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：

在双曲线 的一支上有三个不同点 、 、 与焦点 的距离成等差数列，求 的值．

解：直接利用焦半径公式，得： ， ，

∴ ，∴ ，即

注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．

例10 如图所示，已知梯形 中， ，点 满足 ，双曲线过 、 、 三点，且以 、 为焦点，当 时，求双曲线离心率的取值范围．

分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过 、 、 的坐标及双曲线的方程求解．

解法一：以直线 为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系 ，则 轴，因双曲线过点 、 ，且以 、 为焦点，由双曲线的对称性可知 、 关于 轴对称．

设 、 、 ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高．

由 ，即 ，得 ，

设双曲线方程为 ，则离心率为 ．

由点 、 在双曲线上，将 、 的坐标和 ，代入双曲线方程得

由①得 ，将③代入②式中，整理得：

∴ ，又∵ ，∴ ，∴

∴双曲线的离心率取值范围为 ．

分析二：建立直线 方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．

解法二：前面部分同解法一．

可求得直线 方程为 ，将其代入双曲线方程 中，得

又∵ 、 为上述二次方程的两根，∴ ①

又∵ 在双曲线上，∴                  ②

∵                                              ③

将②③代入①中，得：

∵ ，∴

以下同解法一

分析三：借助焦半径公式解题．

∵ ，∴                               ①

∴ ，由焦半径公式，得：           ②

将①代入②，得：

∵ ，∴

以下同解法一

评述：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如： 、 、 、 ）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．

（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．

 

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反馈练习

 

一、选择题

1．经过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是（  ）．

A． ；  B． ；  C． ；  D．

2．已知双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线的（      ）．

A．焦距为10                     B．实轴和虚轴长分别是8和6

C．离心率是 或                D．离心率不确定

3．若方程 表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（      ）．

A．有相同的实轴和虚轴             B．有共同的焦点

C．有共同的准线                   D．有相同的离心率

二、填空题

4．双曲线 上一点 到左焦点距离为8，则它到右准线距离为__________．

5．对称轴为坐标轴的双曲线的准线与渐近线的一个交点是 ，则双曲线方程是_____________．

6．设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 ， 两点，已知原点到直线的 的距离为 ，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题

7．已知双曲线的两条渐近线方程为 ，一条准线方程为 ，求双曲线方程．

8．过双曲线 的左焦点 ，斜率为 的直线 与两准线交于 ， 两点，以 为直径的圆过原点，且点（3，2）在双曲线上，求双曲线方程．

9．过点（2，2）的双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且它的右准线方程是 ，求（1）双曲线的离心率；（2）双曲线右焦点的轨迹方程．

10．过点 作直线，使它恰好与双曲线 有一个交点，求直线方程．

参考答案：

一、选择题：1．B；  2．C；  3．B；

二、填空题：4． ；         5． 或 ；        6．2；

三、解答题：7． ； 8． ；

9．（1） ；（2）设双曲线的右焦点为 ，由双曲线定义有 ，即 ．

10． 、 ．

　
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