学习目标

　　1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

　　2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

　　3．通过对椭圆概念的引入，培养观察能力和探索能力；

　　4．通过椭圆的标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．  [NextPage]

知识讲解

　　1．本小节的重点是椭圆的定义及标准方程，难点是根据椭圆的定义求标准方程，关键是抓住平面直角坐标系下，曲线与方程的对应关系．

    2．对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，还可以对比圆的定义来理解．另外要注意到定义中对“常数”的限定，如果常数等于 ，那么轨迹是线段，如果常数小于，那么无轨迹．

    3．根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

    （1）曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

    （2）设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，所有这些技术性的措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要认真领会．

    （3）在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一项；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

    （4）教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，不作要求．

　　4．两种标准方程的椭圆异同点

    中心在原点、焦点分别在轴上、轴上的椭圆标准方程分别为：，. 它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

    椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；

    椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．

    另外，形如中，只要同号，就是椭圆方程，它可以化为.

    5．教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——代入法．一般地，如果动点的坐标的限制条件为已知或可求出，而动点和的关系也可以求出：，将以上表达式代入，就可以得出的轨迹方程． [NextPage]

典型例题

已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．

解：方程变形为．

　　因为焦点在轴上，所以，解得．

　　又，所以，适合．故．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在轴上时，设其方程为．

　　由椭圆过点，知．又，代入得，，

　　故椭圆的方程为．

　　当焦点在轴上时，设其方程为．

　　由椭圆过点，知．又，联立解得，，

　　故椭圆的方程为．

例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．

　　设点坐标为，由，

　　知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．

　　因，，有，故其方程为．

　　（2）设，，则．      ①

　　由题意有代入①，得的轨迹方程为，

　　其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．

解：设两焦点为、，且，．

　　从椭圆定义知．即．

　　从知垂直焦点所在的对称轴，

　　所以在中，，

　　可求出，，从而．

　　∴所求椭圆方程为或．

例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

分析 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，

　　由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：

     ·．①

　　由椭圆定义知：            ②

　　则得．

　　故．

例6 已知椭圆，

　　（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

　　（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

　　（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

　　（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．

分析 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，

　　则

　　①－②得

．

　　由题意知，则上式两端同除以，有，

　　将③④代入得．                   ⑤

　　（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为

                 ．                      ⑥

　　将⑥代入椭圆方程得，

　　　符合题意，故即为所求．

　　（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：

              ．（椭圆内部分）

　　（3）将代入⑤得所求轨迹方程为

          ．（椭圆内部分）

　　（4）由①＋②得

                ，         ⑦

　　将③④平方并整理得

              ，            ⑧

             ，             ⑨

　　将⑧⑨代入⑦得

            ，         ⑩

　　再将代入⑩式得

             ，

     　　即               ．

　　此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例7 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析 关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．

　　动点到两定点，

　　即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

　　即．

　　∴点的轨迹是以，为两焦点，

　　半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

　　说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例8 已知椭圆及直线．

　　（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

　　（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

分析  直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得

     ，即．

     ，

　　解得．

　　（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得

，．

　　根据弦长公式得

       ．

　　解得．

　　因此，所求直线的方程为．

　　说明  处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析  椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．

　　点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），

　　直线的方程为．

　　解方程组得交点的坐标为（－5，4）．

　　此时最小．

　　所求椭圆的长轴

，

　　∴，又，

　　∴．

　　因此，所求椭圆的方程为．

说明  解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小． [NextPage]

反馈练习