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例1．已知两点 与 ，直线 的倾斜角是直线 倾斜角的一半，求直线 的斜率．
分析：本题利用解析几何的概念交待了一个三角问题，要注意选用倍角公式或半角公式求解．
解法1：设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，所以
∴
解之，得 ，或－3．
∵
∴
故 ， ．
∴直线 的斜率是 ．
解法2：设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ．
∵ ， ，
∴ ， ．
故 ．
∴直线 的斜率是 ．
说明：两种解法在进行三角计算过程中，都需根据倾角的取值范围对求得的数值进行认定．
例2．如果 ，且 ，那么直线 不通过的象限是（ ）．
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
解法1：直线在 轴上的截距为 ，
直线的 轴上的截距为 ，
∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选（C）．
解法2：∵ ，且 ，
∴ 和 是同号，与 异号．
若点 在第三象限，则 ， ，
∴ 、 与 都同号，因此 ，
即 第三象限里的点 都不能在直线 上，该直线也就不经过第三象限，故选（C）．
说明：本题虽小，但方法灵活．如本题还可这样做，该直线与 轴正半轴交于点 ，而直线斜率 ，所以直线不能经过第三象限，故选（C）．
例3．过点 作直线 被两条平行线 和 所截线段的中点在直线 上，求 的方程．
分析：本题思路宽，解法灵活．求直线 的方程可以先求出其斜率 ，为此，可用 表示出中点，由中点在直线 上，就可求出 ．求直线 的方程也可先求出直线 上一个点的坐标，再与点 相结合就可以求出 的方程．解题经验表明，前一种思路运算繁琐，后一种解法快捷巧妙．
解：由 知，直线 被 、 截得线段 中点 在直线 、 的“等距”线 上．
又  中点 在直线 上，
∴ 解方程组
得线段 的中点 ，
又  ，
∴
即  ．
说明：该解法运用了平面图形的性质，抓住了问题的本质，运算简便，新颖别致，出奇制胜．
例4．在约束条件 下，求 的最大值．
分析：先画出约束条件的可行域，再用图解法求最大、最小值．
 解：约束条件的可行域如图中 的内部
当 为常数时， 表示直线 在 轴上的截距．所以，
当 位于点 时， 有最大值，
 ，
当 位于点 时，有最小值，
 ，
∴当 时， ，
当 ， 时， ．
说明：对于线性目标函数 ， 可以看作直线在 轴上的截距，这样有利于掌握图解法．
例5．设 ， ，能不能说线段 的方程是 ？为什么？
分析 线段 的任意一点的坐标满足方程 ，因此，它满足条件（1）．但是，以方程 的解为坐标的点，如 却不在线段 上．因此，它不满足条件（2）．所以，方程 不是线段 的方程．线段 的方程的正确写法应是
  ．
例6．设两定点 ， 距离为8，求到 ， 两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程．
 分析 道德应考虑直线坐标系如何建立．注意到 为定长，可取线段 的中垂线为 轴，这样 ， 两点纵坐标为零，给运算带来方便．
解法1：（1）以 ， 两点连线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，则 ， 两点的坐标分别为 ， ．设 为所求曲线上任意一点．
（2）曲线的特征性质是 ．
（3）用两点间距离公式把 和 转化成代数形式得：
 ．
（4）化简上式得： ．
（5）证明略．
∴所求轨迹方程为 ．
解法2 以 ， 两点连线为 轴， 为坐标原点建立直角坐标系，则 ， ．
设曲线上的动点 ，
由题意： ，
即  ，
化简得 ．
故所求轨迹方程为 ．
说明（1）在解法1中，结合曲线方程的求解步骤分五步进行，意在指明思维过程及解题格式．在解题时，（1），（2），（3），（4），（5）序号不要写．
（2）两种解法所得方程不同，这说明建立的直角坐标系不同，所得的曲线方程一般也不相同，且其求解过程也有简有繁，但曲线的形状、大小完全相同．
例7．过点 的直线与曲线 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为 ，求 的取值范围．
分析 注意到曲线  是反比例函数的图像—双曲线，显然，当过 的直线垂直于 轴或 轴时，直线与双曲线不可能有两个交点．
解 设直线方程为 ，由方程组
消去 ，得 ①
当且仅当方程①有两个不同的实数根时，
方程组有两组不同的实数解时，直线与曲线有两个不同的交点．
设方程①的两根为 ， ，由韦达定理知， ．
∵ ，∴ ， ．
∵两曲线有两个不同的交点，
∴ ．
将 代入，得 ，即 ， ，
解得 ．
∵ ，即 ， ．
∴  的取值范围是 ．
说明 曲线的交点问题，一方面要转化为方程组有实数解的情况，同时，还应考虑到曲线的实际情况，如本例中的斜率存在与不存在，斜率 等．
例8．已知圆的半径为 ，圆心在直线 上，圆被直线 截得的弦长为 ，求圆的方程．
分析 求圆的方程，就是求标准方程 中的 ， ， ，本题求出 ，， 即可．可利用待定系数法或利用图形．
解法1 设圆的方程为 ．
由圆心在直线 上，得 ①
联立直线与圆的方程得 ，
由弦长公式，得
＝
化简，得 ②
解①②得 ， 或 ， ．
∴所求圆的方程为 或 ．
解法2 根据半径、弦长的一半、弦心距构志直角三角形，
由勾股定理，可得弦心距
又∵弦心距等于圆心 到直线 的距离，
∴ ∴ ①
又已知 ②
解式①②得 ， 或 ， ．
∴所求圆的方程为 或 ．
说明 本题两种解法虽有不同，但都是用待定系数法求标准方程中的 ， ， ，由本题的已知条件，设圆的标准方程，求 ， ， 比较方便．解法1应用了弦长公式，解法2应用了图形的几何性质：弦长、弦心距、半径之间的关系，因而简化了运算过程．
例9．求过两圆  和 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
分析 两圆的交点满足两圆方程，从而交点也满足方程：
 ①
其中 为待定系数．而方程①可化为圆的一般方程形式，且它过已知两圆的交点，所以所求圆方程可设为①的形式．
解 设所求圆方程为 ，
即  ，
圆心坐标为 ．
∵ 圆心在直线 上，
∴  ，解得 ．
∴ 所求圆的方程为 ．
说明 本题采用的方法是利用“圆系方程”，具体地说，是利用过两圆交点的圆系，还有其他很多种圆系，我们将在后面的专题中加以介绍．
例10．已知点 是圆 上的一个动点，点 ，当点 在圆上运动时，求线段 的中点 轨迹方程．
解 设 ， 由中点坐标公式得： 即：
而点 在圆上
∴
即 这就是中点 轨迹的参数方程，
化为普通方程得 ．
说明 这是已知一个动点的轨迹方程，求相关动点的轨迹方程，求解这类问题常用代入法：即用所求轨迹上的任一点 ，表达出相关动点 ，而点 满足的方程已知，代入化简就可以了．如果直接用 表达 困难，可以先列出 与 的两个关系式，再解出 ，用 表达． [NextPage] | 
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