一、教材分析:

1．基本概念:排列与排列数、组合与组合数

    从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

    从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.

2．基本公式:

=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=(规定0!=1).

=(规定=1)

.

3．排列组合的解题原则:

（1）深入弄清问题的情景

    要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气.具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用乘法原理，后者用加法原理.事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理.

（2）两个方向的解题途径

    对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是下面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符号要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.

    由于这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目，“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.

（3）分析问题的两个方向

分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题.但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭.差距很大，因此平常做题时，这两种训练都要进行.

（4）特别强调一题多解

    一题多解，可以从不同角度分析同一问题.加深对加法原理，乘法原理，及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法.

4．对常见问题分类总结

关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“整元法” （也叫捆绑法）看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法.

“除序法“往往用于在进行排列的元素中有一组或一组以上的元素是没有差别的，或是顺序已确定的。

二、例题分析

例1． 由0，1，2，3，4可组成多少个没有重复数字的三位数？

分析与解答：可将数字0，1，2，3，4看成待排列的元素，百，十，个为看成待排入数字的位置。

特元法：因为0 不在百位，所以0 为特元，可先排0，再排其他数，因为三位数中可以有0 也可以无0 ，所以分为有0和无0 两类计算：

“有0”种数＋“无0”种数：N=

特位法：因为百位不可为0，可先写定百位，再排其他位：

N=

点评：特元法或特位法是指在需排列的元素中某些元素有特殊要求，或是某些位置有特殊要求。此时，可先考虑此元素或此位置的排列方法。

在使用特元法或特位法时，应注意以下问题：

1．  如本题所示, 尽管同一道题可用特元法也可用特位法，但两类方法的难易程度不一定相同，解题时应注意判定是否有繁简之分。

2．  如果有两类以上的特殊元素或特殊位置，一定要坚持用特元法或特位法依次分析两类特元（位）的排法，再考虑其它元素或位置的排法。

例如，计算用0，1，2，3，4可组成无重复数字的四位偶数的个数。

用特元法：个位应排0，2，4中的一个，但0不可排在千位，所以可考虑先排0，在排2，4，分三类计算：

“无0”＋“有0但不在个位”＋“0 在个位”

用特位法：可先排个位，在排千位，注意到个位排0与否会使千位的排法不同，所以分两类计算：

 “0在个位”＋“0不在个位”

3．特别注意有两个以上限制条件的，排第一个特位（元）时，不同的办法如果将导致第二个特位（元）的排法数有所不同，则应分类计算完成任务的办法种数，否则将出现错误。如注2例中的特位法 ，不可认为个位有三种写法，千位有4 种写法，因此，

由此，应加深对乘法原理的理解，乘法原理要求在每一步中，无论采取那种方法，下一步能采取的办法种数都应该是一样的，否则，就应分类，结合加法原理来计算方法种数。

4．不是有特元（位）时，都应用特元或特位法解决问题的。在使用特元（位）前，应注意识别是否可用特殊办法（如插空，整元，除序等）解决问题。

例2．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？

（2）这四位数中能被4整除的数有多少个？

（3）这四位数中能被3整除的数有多少个？

解:（1）直接分类法:

①特元法:

②特位法:先考虑首位，可以从1，2，3，4四个数字中任取一个，共种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个.即种方法，则共有=96种方法，即96个无重复数字的四位数.

    间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数:.则共有=96个.

（2）由题意能被4整除尾数应该为04，12，20，24，32，40.则共有.

（3）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数.分析:因为不含0时，1+2+3+4=10.10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0，1，2，3或0，2，3，4，共有2()=36个.

例3．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.

（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？

解:（1）首位是1，2，3，4组成的五位数各24个.所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124.

（2）首位为1组成=24个数；

     首位为2，第二位为0，1共组成=12个数.

     首位为2，第二位为3，第三位为0的数共=2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104.

    由加法原理:+++1=39.

    按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数.

例4．5男6女排成一列，问

（1） 5男排在一起有多少种不同排法？

（2）某男在排头，某女不在排尾有多少种排法？

（3）5男都不排在一起有多少种排法？

（4）5男每两个不排在一起有多少种排法？

（5）男女相互间隔有多少种不同的排法？

解:（1）先把5男看成一个整体，得，5男之间排列有顺序问题，得，共种.

（2）或.

（3）全排列除去5男排在一起即为所求，得.

（4）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得.

（5）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得.

例5．3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士，不同的分配方案有多少种？

解:3名医生分到3个单位有种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有种，根据乘法原理，共有=540种方案.

例6．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？

解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法.

从10个点中任取4个点有中，其中4个点共面有三类情况:①4个点位于四面体的同一面中，有4种；②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有-4-6-3=141种.

例7．求满足下列条件的不同数字的个数：

(1)由四个5三个3组成的七位数；

(2)由0，1，2，3，4 组成的无重复数字的五位数，且偶数数字自万位至个位由大到小排列。

解：（1）解法一：由于四个5之间没有差别，三个3 之间没有差别，可以设想将七个数字排好后，将4个5之间的种排法归并为一种，共有个不同的数字，同样，再将这些数字中三个3之间的种排法也并为一种，即，所以可组成的不同数字有＝35种。（这种先将排队元素不论相同与否先排成一列，再将不必确定顺序的元素之间的排列数“除去”的方法叫做“除序法”。）

解法二：也可设想七位数从百万位到个位共七个位置，在七个位置中任选三个位置填入3，共有种不同填法，剩下4 个位置全填5，此时只有一种填法，所以共＝35种。

（2）解法一：类似（1），写五位数的过程可看成先将五个数字排成一列，有种不同排法，再将三个偶数之间的种排法数并成一组，共有种。

解法二：类似上一问的解法二，用求解.

例8．求证（1）；（2）

证明:

（1）     

    另一种解释:对于含某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的排列可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的，有m个，因此共有(+m)个，即+m=.

（2）

    ∴.

     另一种解释:对于含有某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的有个，因此共有(+)个，即.

三、课外练习:

1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）.

    A、24个    B、30个    C、40个    D、60个

2．5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）.

    A、480种   B、960种   C、720种   D、1440种

3．某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文字交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_________种.

4．在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法共有________种.

5. 正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为________，以这些顶点为顶点的四面体共有__________个.

6.身高互不相同的六个人排成前后两排，每排三人，在第一排的人都比站在他身后的后一排的人个子矮，则有   不

同排法。

7.用三个5，两个3可以组成多少个不同的四位数？

参考答案:

1．A   2.B  3. 72. 先选出另两门文科，理科有种，又因为文科交叉且一、二节必须排语文，数学有种，所以有=72种.

4．=4186.

5．①+12=20    ②-2×6=58

6．

7．应分“含一个3”和“含两个3”分别计算，共＝10种。