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[组图]3.5 等比数列前n项和    热      【字体：小 大】
3.5 等比数列前n项和
作者：未知    文章来源：本站原创    点击数：    更新时间：2006-1-15
 

学习目标

1.掌握等比数列前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；
（2）用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；
2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学，进行思维的严谨性的训练，培养实事求是的科学态度.

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知识讲解

 

1．重点是等比数列的前 项和公式，难点是公式的推导．关键是抓住等比数更的基本特征，引导学生获取推导的思路．

2．等比数列的前 项和

课本上是通过一个实例来引出等比数列的前 项和公式的推导思路的．其关键是将等比数列每一项乘以公比就得到它后面相邻的一项，因而 与 有 项相同，彼此相减就可以消去这些相同的项．这种方法称为错位相减法．整个推导过程蕴含着下列重要的思想方法：

（1）化归思想：通过错位相减将多项问题化归为少项问题．

（2）方程思想：通过错位相减建立起关于 的方程．

（3）分类讨论思想：在解关于 的方程时进行了分类讨论，得出了等比数列的前 项和公式

在具体运用等比数列的前 项和公式时，首先必须根据已知条件判定 是否为1，必要时要进行分类讨论．

求等比数列前 项和还有一些其他具有典型意义的方法，这里再介绍两种（以下的推证都是在 的情况下进行的）：

方法一：由乘法公式，我们知道

               ，

               ，

于是猜想

               ．

这一猜想由多项式乘法容易解证是正确的，由此可以得到，

              ，

故            

                 

                  ．

方法二：因为 ，

所以

      

       ．

这种方法称为裂项相消法．

3．会用方程的思想处理等比数列的有关问题

等比数列的通项公式、前 项和公式涉及五个量： ， ， ， ， ，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（欲称“知三求二”）．解等比数列题的基本方法是方程法．由于列出的方程或方程组往往次数较高，求解时要特别注意整体代换、因式分解和恰当地使用除法．

4．关于数列求和

课本上的例3是一道数列求和题．题设的数列既不是等差数列，又不是等比数列，不能直接用公式求和．课本上通过“拆”和“组”的方法，把问题归为求两个等比数列的和．这样的方法称为拆项并组法．

我们还学习过倒写相加法和错位相减法．由一个等差数列 和一个等比数列 对应项积组成的数列 ，求它的前 项和时，可以用错位相减法．

裂项相消法也是数列求和的重要方法，最基本和最典型的例子是计算 ．

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典型例题

 

例1.求和： .

分析：当 时， 是由数列 与数列 的相应的项相乘而来的，所以用错位相减法来求和.

解：当 时， ；

当 时， ，①

左右两边分别乘以 得： ，②

①、②相减得：

于是 .

说明：求和问题要分析数列的项的结构，当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时，用错位相减法求和，此时要注意等比数列的公比是否为1（用字母表示公比时）.

例2.已知 是等比数列 的前 项和，且有 求 的值.

分析：由两个方程不能求出确定的 ，只能得到一个关系，所以应采用整体代入的方法.

解：设等比数列的首项为 ，公比为 ， 由 可知 ，故

两式相除得 ，即 .

于是有

说明：本题强调的是基本量思想与整体思想，整体思想往往是设而不求，整体替换.

例3. 求数列 的24项的和.

分析： ，可用裂项法求和.

解：

        .

说明：裂项法是求和的重要方法之一，要把数列的每一项分裂为两项之差，求和时使得中间的大多数项互相抵消了.

例4.设 是由正数组成的等比数列， 是其前 项和.求证： .

分析：先比较 与 的大小，再根据对数函数的单调性得到所要证明的不等式.

证明：设等比数列 的首项为 ，公比为 .

当 时，

当 时，

， ，

故有 .

说明：解题中注意等比数列前 项和公式要对公比进行分类；注意比较两数大小的基本方法是比较法，特别是作差比较法，还要注意结合函数的有关知识.

例5. 已知数列 中， 且当 时， .

（1）求 的通项公式；

（2）求证：

分析：该数列从第二项开始，每一项是其前面所有项之和，于是通项 与一个和有关，所以引入前 项和.

解：（1）设 ，

所以当 时有 ，同时又 ，两式相减得 ，于是 所以 是等比数列，公比为2.

因为 所以 ，故当 时， ,

所以

证明：（2）

说明：在解题中注意项数的初始值，以及数列通项与和的相互转化.

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反馈练习

 

（1）在10到2000之间，形如 的各数之和为（      ）.

    1008   2040   2032   2016

（2）等比数列 中， 那么 （       ）.

   －3       3

（3）等比数列 中， ，则 等于（      ）.

14   16   18   20

（4）某工厂生产总值月平均增长率为 ，则年平均增长率为（       ）.

          

（5） 的和为（      ）.

          

（6）公比为 的等比数列 的前 项的和为 ，且 ，则 .

（7）数列 的通项公式是 ，前 项的和为10，则项数等于________.

（8） 是由7个正数组成的等比数列，其前三项的和为26，后三项的和为2106，则第四项等于___________.

（9）一个弹球从32米的高处自由落下，每次着地后又跳回原高度的一半再落下，第五次着地时所经过的路程为___________米.

（10）已知 是公差不为0的等差数列， 是公比为 的等比数列，且 求数列 的前 项和 .

（11）某公司向银行贷款1600万元建设新生产线.

①若生产线建成后获得年均纯利润600万元，银行按复利计算，年息为5％，该公司过三年能否一次性还清贷款？

②若公司三年后必须一次性还清贷款，此生产线建成获年均纯利润至少多少万元（精确到0.1万元）？

（12）由数列 ： 构成一个新数列 ，此数列是首项为1，公比为 的等比数列.求数列 的通项 及前 项的和为 .

答案：（1）    （2）    （3）    （4）    （5）    （6）－1 （7）120   （8）54   （9）92   （10）  （11）① ，不能一次性还清贷款；②617.4万元     （12） .
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