3.4 等比数列

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[组图]3.4 等比数列

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3.4 等比数列

作者：未知文章来源：本站原创点击数：更新时间：2006-1-15

学习目标

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；
（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；
（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度. [NextPage]

知识讲解

重点是等比数列的概念及等比数列的通项公式，关键是等比数列“等比”的特点，可对比等差数列进行学习．

1．定义

等比数列与等差数列的定义仅“比”、“差”一字之差，理解等比数列的定义，关键是抓住“等比”的特征．“比”是指任意相邻两项中后项与前项的比，不能把比的次序颠倒；“等”是指所有这些比值都相等，即都等于“公比”．在理解等比数列的定义时，要防止以特殊代替一般、以局部代替整体的错误．例如，不能由肯定是等比数列，也不能由作出是等比数列的判断．

由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，公比也不能为0．

等比数列的递推公式是.

2．通项公式

在等比数列中，；；…，特别地，，由此可以归纳出等比数列的通项公式：

这个通项公式也可以由以下的叠乘法导出：

叠加法与叠乘法是求数列通项公式的有用的方法，读者不妨利用它们来求以下数列的通项公式：

（1）已知，

（2）已知，

从通项公式可以看出，首项和公比是等比数列两个最基本的元素，和一经确定，等比数列就被完全确定，解等比数列问题常常被化归为求和．读者可以思考，已知等比数列中任意两项，能否求出这个等比数列中任一项，为什么？

由等比数列的通项公式可得，因此，的图象是函数的图象上一群孤立的点．

3．等比中项

三个数成等比数列，则为的等比中项．这时.等比中项与等差中项还存在着下列区别：

（1）在实数集中，任意两个数都有等差中项，但只有同号的两个数才有等比中项．

（2）两个数的等差中项是惟一的；同号两数的等比中项有两个，它们互为相反数，当，时，也叫做的几何平均数．一般地，当，时，，这个不等式可以用求差比较法证明．

（3）成等差数列，但与成等比数列不是等价的．由成等比数列可以推出，但当中有一个为0时，由不能推出成等比数列，故是成等比数列的必要而不充分条件．

等比中项不仅描述了等比数列中相邻三项的数量关系：，还可以推广为，若项数成等差数列，则.

把成等比数列的几个数依次设为，，或，，，一般是在已知这几个数的积的条件下才显得有利，否则反而可能导致复杂的运算，一般情况下，成等比数列的几个数设为，，…更好．

对比等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式，可以发现一个有趣的现象，将等差数列的定义、公式中的有关运算相应提高一级，就可以得到等比数列的定义和有关公式．例如将等差中项公式中的加法改成乘法，除以2改成开平方，就得到等比中项公式．我们已经学习过等差数列前项和公式，你能否据此类比出等比数列前项积的公式，并给出证明． [NextPage]

典型例题

　　例1.已知为各项均为正数的等比数列，公比，则（）.

与的大小关系不确定

　　分析：比较两数大小用到作差比较法.

　　解：，，

－＝＝.

　　因为为各项均为正数，所以.

　　当时有，；

　　当时有，也有，

　　所以对任意正数都有，即，

　　故选择.

　　说明：通过本题的探索，复习基本量的方法，同时复习比较法的基本思路与方法.

　　例2.已知三角形的三边长成等比数列，求此等比数列的公比的取值范围.

　　分析：由三个数构成三角形三条边的条件建立关于公差的不等式（组）.

　　解：设该等比数列的公比为，一条边长为，则三条边长分别为.

　　所以有化简得：

，

　　于是公比的取值范围是.

　　说明：本题是数列知识与几何知识、不等式的解法的综合题，正确解答的关键是把问题一步一步地转化.

　　例3.已知数列是由正数构成的等比数列，公比，且，则等于（）.

　　分析：利用等比数列相邻的三项之间的关系，使得变量减少.

　　解：…，

…＝，

，

选择.

　　说明：本题的一般解法是基本量法，即将所求各项均用表示，由已知的两个等式求出，代入所求即可，但运算量较大.本解法利用的是整体代换———通过观察发现项之间的关系，将30项平均分成了10组，寻求每组中的项之间的关系.本题还可求得.

　　例4. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

　　分析：解题思路是设未知数，列方程组，解方程组.

　　解：设这四个数依次为，于是有，

　　解得或故所求的四个数为0，4，8，16，或15，9，3，1.

　　说明：本题设未知数的方法很多，出所示解法外，还可设四个未知数，这样便须列四个方程.可能多数学生选择两个未知数，如利用等差数列这一条件，设四个数分别为，方程较为复杂，所以要选择适当的未知数，使得未知数尽量少，方程尽量简单.

　　例5.设二次方程有两个实根和，且满足.

　　（1）试用表示；

　　（2）求证是等比数列；

　　（3）当时，求数列的通项公式.

　　分析：消去得到，的关系，利用定义证明数列为等比数列.

　　解：（1）由根与系数的关系得代入，化简得.

　　证明：（2）因为，所以，

　　于是（可以证明），故是公比为的等比数列.

　　解：（3）当时，，所以是首项为，公比为的等比数列.

　　于是故.

　　说明：一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列（或等差数列），形如的数列就可以转化为一个等比数列． [NextPage]

反馈练习

（1）在数列中，对任意，都有，则等于（）.

（2）是公比为2的等比数列，且，则等于（）.

25 50 125 400

（3）已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（）.

0 1 2 1或2

（4）在各项均为正数的等比数列中，，那么等于（）.

5 10 15 20

（5）设，那么（）.

既是等差数列，又是等比数列是等差数列，但不是等比数列

是等比数列，但不是等差数列既不是等差数列，也不是等比数列

（6）在等比数列中，对任意，都有，则公比_________.

（7）培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）.

（8）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值是_________.

（9）已知数列是等比数列，，且成等差数列，求证：依次成等比数列.

（10）有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.

（11）在数列中，其前项和，求证数列是等比数列.

（12）在和之间插入个正数，使这个正数依次成等比数列，求插入的这个正数的乘积.

参考答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）；（9）证明略；

（10）9，6，4，2或25，－10，4，18；（11）证明略；（12）

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