学习目标

　　 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.

　　（1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；

　　（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

　　（3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.

　　2.通过公式的推导和公式的运用，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.

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知识讲解

　　1．本小节的重点是等差数列前项和的公式，难点是获得推导公式的思路，关键是通过具体例子发现一般的规律．

    2．等差数列的前项和

    课本上通过1+2+3+…+100的高斯算法，发现等差数列任意的第项与倒数第项的和等于首末两项的和，从而得出求和的一般思路——倒写相加法．

　　假设是一个正项的等差数列，在直角坐标系中作出它的图象，如图3－1，可以被解释为图中阴影部分的面积．为了求出这块图形的面积，可以把与之同样大小的另一块图形先“倒”过来，再合在原图形上，这样便恰好拼出一个矩形，在拼接的过程中，我们生动地看到等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项的和．显然这个矩形的面积等于，即有

所以       

    这是等差数列的前项和的几何解释．可以看出，等差数列前项和公式的推导，蕴含着割补的思想方法和把等差数列求和转化为更简单的常数列求和的化归思想．

    等差数列前项和公式有两个，它们是等价的．在解决具体问题时要注意选择．

    3．从函数的观点认识等差数列前项和

    将变形后得到．令，，当时，等差数列前项和公式是关于的二次函数，它的图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点．

    4．会用方程的思想处理等差数列的有关问题

    等差数列的通项公式与前项和公式涉及五个量：，，，，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二”）．解等差数列题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确． [NextPage]

典型例题

分析：数列的后五项是一个等差数列，其首项为原数列的第八项，公差就是原数列的公差，所以应先求原数列的首项与公差.

解：设等差数列为，其首项为，公差为，

　　奇数项构成以为首项，为公差的等差数列，

　　偶数项构成以为首项，为公差的等差数列，

　　于是有化简得解得

　　故

　　所以.

　　即这个等差数列后五项的和为125.

说明：在运用等差数列前项和公式时依然要运用基本量的思想，把已知与所求都用基本量来表示，从而使题设与结论之间的关系明朗化.

例2.等差数列和的前项和分别为和，若对一切正整数都有，求的值.

分析： 由、的通项公式可求得、的通项公式.

解法一：令，

　　　　则当时，有，

　　　　所以

解法二：

说明： 等差数列前项和 ，当公差时，是的二次函数，且常数项为0，所以等差数列前项和的一般形式是，解法一就运用了这个形式；解法二则侧重等差数列前项和公式的另一形式，是等差数列性质的应用.

例3.把正整数以下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有各数的和，那么等于（      ）.

    11134641508253361

分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数.

解：因为第组有个数，所以前20组一共有个数，

　　于是第21组的第一个数为211，

　　这组一共有21个数， ，故选.

说明：认真分析条件，转化为数列的基本问题.

例4. 是等差数列的前项和，，且，.求数列的前项和的通项公式.

分析：因为，所以应确定的首项及公差.

解：设的首项为，公差为，

　　则，，，，

　　由已知得解得

　　所以，，，

.

说明：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向. 求数列的前项和使用的是裂项法，在第一节中曾经提到，在此复习为今后求极限作准备.

例5.设等差数列的前项和为，已知

（1）求公差的取值范围；

（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.

分析：求的取值范围应设法建立关于的不等式（组）；找中的最大值可根据的函数式用函数方法解决，也可根据数列的项的变化情况来定.

解（1）：的首项为，由已知有

　　　　将代入后两个不等式，消去得.

（2）解法一：由

　　　　 因为，则，可知，

　　　　所以中最大的是.

另法：，得

　　　所以所以最大.

解法二：，

　　　　二次函数的对称轴方程为，

　　　　由于，有，所以当时，最大.

说明：根据项的值判断前项和的最值有以下结论：

　　　①当时，，则最小；

　　　②当时，，则最大；

　　　③当时，，则最小；

　　　④当时，，则最大.

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反馈练习

(1)在等差数列中，公差则等于（      ）.

    62   64   84   100

(2) 在等差数列中，公差，那么下列各式中与相等的是（      ）.

(3)把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（      ）.

    114   134   132   112

(4) 在等差数列中，，则________.

(5) 等差数列的后200项的和等于___________.

(6) 等差数列的前项和为，且，则__________.

(7)已知数列的前项和，则___________.

(8) 设等差数列的前项和为，且满足，则_______.

(9) 设等差数列的前项和为，,求的值.

(10)已知等差数列的首项为2，前10项的和为15.

（Ⅰ）记为的前项和，问有无最大值，若有指出是前几项的和，若没有说明理由；

（Ⅱ）记

答案：（1）   （2）   （3）   （4）10   （5）   （6）-110     

（7）  

（8）0   （9）147   （10）前18、19项和相等且最大；最大.