学习目标

　　（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；

　　（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；

　　（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题. [NextPage]

知识讲解

　　本小节的重点是等差数列的概念和通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式含义．

　　对等差数列定义的理解，关键是弄清等差数列“等差”的基本特征，即是同一个常数，对于公差，要强调它是每一项与它的前一项的差（从第2项起），要防止把被减数与减数颠倒．

　　在学习等差数列的定义时，学生常常容易忽视定义中的“每”字，例如仅根据作出是等差数列的错误判断．在运用定义证明一个数列是等差数列时，必须要证明每一项（从第2项起）与它的前一项的差都等于同一个常数，即证明对所有大于或等于2的正整数都成立．

　　等差数列的递推公式是.

　　在等差数列中，，，，…，特别地，，由此可以归纳得出等差数列的通项公式：. 　

　　这个通项公式也可以由以下的叠加法导出：

　　从通项公式可以看出，首项和公差是等差数列两个最基本的元素，和一经确定，等差数列就被完全确定．解等差数列的问题常常被化归为求和．例如：已知等差数列中任意两项，可以求出等差数列中任一项，这是因为从已知条件可以建立起关于和的方程组，求出和．

　　将等差数列的通项公式变形、整理可得．从函数的角度来看，是关于的一次函数（时）或常数函数（时）．它的图象是一条直线上的均匀排开的一群孤立点．以后我们会知道，公差是该直线的斜率．

　　三个数成等差数列，则为的等差中项．这时，即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数．成等差数列的充要条件是．

　　等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项的数量关系：，还可以推广为：若项数成等差数列，则. 　

　　由等差数列的特点，如果已知三个数成等差数列，可设这三个数分别为，，（其中为公差）；如果已知四个数成等差数列，可设这四个数分别为，，，（其中公差为）．这些设法未知量少，又具备对称性，可以使解题简便． [NextPage]

典型例题

例1.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列. 分析：要证三个数成等差数列， 　　　只需证明等式：， 　　　即证成立. 证明： 成等差数列， 　　　（设其公差为）， 　　　　， 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　又， 　　　， 　　　 成等差数列. 说明：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用.这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗.此题证法很多，不再一一列举. 例2.在等差数列中，，则（       ）.     72  60  4836 分析：在题目中的项很多，利用通项公式转化为两个基本量和. 解：设此数列的首项为，公差为，则， 　　即. 　　 . 说明：可以应用等差数列的性质：若，则，所以有＝＝40，故60. 例3.已知是等差数列，且满足，则等于________. 分析：已知等差数列的两项，等差数列便确定了，利用通项公式可以求得任意一项.数列确定后，数列的图像也确定了，利用图形也可求解. 解一：设此数列的首项为，公差为，则，， 　　　相减得， 　　　，， 　　　. 解二：设数列公差为，， 　　　　.故. 解三：根据等差数列的图像可知 三点共线， 　　　故有，即， 　　　. 说明： 通项公式与图像是认识和研究等差数列的工具，它们在数和形两个角度各有优势，应将它们有机结合，适当选择，以利问题解决. 例4.已知无穷等差数列，首项公差，依次取出项数被4除余3的项组成数列. （1）求和； （2）求的通项公式； （3）中的第110项是的第几项？ 分析：数列是数列的一个子数列，其项数构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于是等差数列，则也是等差数列. 解：（1）， 　　数列中项数被4除余3的项是的第3项，第7项，第11项，…， 　　这些项组成一个新的等差数列（第二问中加以证明）， 　　其首项，. 　　（2）设中的第项是的第项， 　　即，则 　　 　　， 　　∴是等差数列，其通项公式为. 　　（3） 　　设它是中的第项，则，则 说明：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系. 例5.设是等差数列，，且，.求等差数列的通项. 分析：求通项公式，关键是要确定数列的首项与公差.可设首项为，公差为，运用方程思想，列两个方程，解方程组即可. 解：设首项为，公差为，由已知得 　　由第二个方程，化简为解得， 　　所以，代入第一个方程得 　　即化简得 　　解得，或，所以或， 　　故或. 说明：方程的思想是指把数学问题所反映的数量关系用解析式的形式表示出来，在把解析式归结为方程，通过解方程的手段或对方程进行研究使问题得以解决.设未知数，列方程，解方程是用方程的思想解数列问题的重要环节. [NextPage]

反馈练习

（1）有穷数列的项数是（       ）.

（2）在等差数列中，若，则的值（      ）.

20   22  24－8

（3）若是等差数列，则有下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（      ）.

（4）在等差数列中，，，则201是该数列的（      ）.

 第60项   第61项   第62项   第63项

（5）在等差数列的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项为（      ）.

（6）设是公差为－2的等差数列，若，则（      ）.

－182  －148  －82－78

（7）设等差数列中，，是第一个比1大的项，则公差的取值范围是（     ）.

（8）四位正整数中，是3的倍数的数共有____________个.

（9）夏季高山上温度从山脚起每升高100米温度降低 ，测得山脚、山顶的温度分别是、，则山的相对高度是_____________米.

（10）等差数列中，，，则中的第____________项的值介于之间.

（11）两个等差数列和都有100项，问他们共有多少个相同的项.

（12）设正数成等差数列，且公差不等于0，求证也成等差数列.

（13）已知是一次函数，其图象过点，又成等差数列，求的值.

（14）已知数列成等差数列，且，求的值.

答案：（1） .（2）. （3）. （4）.（5）.（6）.（7）.（8）3000.

（9）1700.（10）10，11，12.（11）25.（12）提示：利用等差中项的概念.（13）提示：设求得＝25.（14）设，则数列是等差数列，且，解得首项，公差，则，于是