知识讲解

1．本小节的重点是数列的概念及数列的通项公式，难点是根据数列的前项写出数列一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，找出各项共同的构成规律． 　　2．数列的定义 　　数列是按一定“顺序”排列的一列数．在这个定义中，只强调有“顺序”，不强调有规律．数列的本质是排列着的数有序性．数列与数集的不同在于： 　　（1）数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的．例如，数列1，3，5，7，9与数列5，3，1，7，9表示两个不同的数列，而数集与数集表示两个相同的集合． 　　（2）同一个数在数列中可以重复出现，而集合中的元素是互不相同的． 　　3．数列与函数 　　数列中的每一个数都对应于一个序号，反之，每个序号也都对应于数列中的一个数．这种对应关系启发我们把数列看作是自变量离散变化的一列函数值， 　　实际上，数列可以看作一种特殊的函数（定义域为正整数集或其有限子集的函数）当自变量是从小到大依次取值时对应的一列函数值．在这里，应注意把数列和这个函数的值域区分开来，数列是这个函数有序排好的函数值的“队列”． 　　用函数的观点来认识数列是很重要的，它使我们可以运用函数的观点来研究数列．例如，函数与其图象有着不可分割的联系，数列也应该有其图象表示．数列的图象是由一系列孤立的点所组成的图形，这些点都落在函数的图象上．从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况． 　　4．数列的通项公式 　　如果数列的第项（通项）与项数（序号）之间的函数关系可以用一个公式来表示，则称这个公式为该数列的通项公式． 　　通项公式是给出数列的一种方法．已知一个数列的通项公式，就可以求出这个数列的各项，也可以判定某个数是否是该数列中的项，是第几项． 　　正如并不是每个函数都有解析式一样，并不是每个数列都有通项公式，例如的不足近似值与过剩近似值精确到所构成的两个数列 　　　　 　　　　 就都没有通项公式． 　　如果一个数列有通项公式，它的通项公式在形式上可以不止一个．例如数列的通项公式可以有下列多种形式 　　　　 　　　　 　　　　 　　求数列的通项公式实质上是找出数列的项与序号间的对应法则，关键是抓住各项的特点、各项构成的共同规律，应切实掌握求数列的通项公式的各种方法，如观察、分析、比较、综合、归纳、类比、猜想和递推等． 　　已知数列的前几项，要写出它的通项公式，可以把所给数列的前几项与项数列成对应表，仔细观察项与对应序号的关系、项的特点、前后项关系，有时还要与一些已知通项公式的数列进行比较，从特殊到一般，归纳、综合、化归，找出各项的共同规律，求出数列的通项公式． 　　根据数列的前若干项，写出的通项式一般不止一个，例如数列：的一个通项公式可以写成也可以写成这就是为什么在求数列的通项公式时，常说“写出数列的一个通项公式”．通常，写出一个使所给各项都通够满足的、最简捷的公式便可以了． 　　5．数列的递推公式 　　如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 　　数列的递推公式和通项公式一样，也是给出数列的一种方法，它们之间不同的是，通项公式直接刻画了数列的项与序号间的函数关系，根据通项公式求数列的某一项，只需将项的序号代入通项公式直接进行计算；递推公式刻画的是数列相邻若干项的关系，根据递推公式求数列的某一项，必须从数列的第1项（或前几项）开始，结合递推公式逐次推出，例如由递推公式，必须经过逐次求出的过程． 　　类似于这样的公式不是递推公式，这个公式所刻画的不是同一数列中相邻若干项的关系． 　　6．与的关系 　　把叫做数列前项的和，并记作则有： 　　　　 　　即 　　而当时， 　　所以我们得到数列的通项与前项和之间的关系式 　　值得注意的是，只对的一切正整数成立，而当时，没有意义．因此，由前项和求通项公式时，要分与两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示，若不能，就用分段函数表示． 　　7．数列的分类 　　按项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列与无穷数列． 　　按照项与项之间的大小关系来分，数列可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．如果对有的，都有，那么数列称为递增数列；如果对所有的，都有，那么数列称为递减数列；如果有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么数列称为摆动数列；如果对所有的，都有，则这个数列叫做常数列． [NextPage]

典型例题

例1．数列共有__________项． 分析：数一个数列的项数都是从1开始的，找项与项数的关系关键是找首项与1的关系． 解：已知数列的项数与数列的项数相同， 　　又，所以又与数列的项数相同． 　　因为共有个数，所以共有个数． 　　因此有个数． 说明：数清项数是解决数列问题的首要问题，在有穷数列中，数列的末项未必是数列的第项，即有穷数列的项数未必是．一定要区分有穷数列的末项与通项． 例2．已知数列中，，对任意，，都有则______． 分析：已知条件表示了无数个等式：，，，再加上这一条件便确定了这个数列，即可递推求出数列的各项． 解：令，得，，． 　　令，得，． 　　令，得 　　令，得． 说明：本题涉及了方程的思想，同时体现了特殊与一般的关系．也可能有学生看出就求出了数列的通项公式，用代入法便可求出数列的任意一项，如果希望学生看出这一结果，可将所求换成求项数较大的项． 例3．数列的通项公式为，表示数列的前项和，求． 分析：数列的每一项，数列的前项和便抵消了一些项． 解： 　　　　　． 说明：可以在此补充裂项求和法，当然裂项法不仅仅针对分式形式的通项公式，只要的形式就行． 例4．在数列中，，那么这个数列中的最大项与最小项的项数为____________． 分析：通过函数的取值情况来探求数列的最大项及最小项． 解：函数， 　　其图象是由函数的图象 　　向右平移个单位， 　　再向上平移1个单位得到， 　　 　　根据图象可得最小，最大，即第9项最小，第10项最大． 说明：数列的项与项数构成特殊的函数关系，研究其最值的方法就是求函数最值的基本方法，求函数最值的方法之一是数形结合，即利用函数图象来判断最值． 例5．设数列各项均为正数的数列，，且满足：，则数列的通项公式为____________． 分析：解决此问题有两个思路，一是求出数列的前几项，由此猜出数列的通项公式（因为这是填空题）；另一个思路是化简已知递推式（因式分解，降次），使与明确，简洁，便于寻求解决方式． 解：由已知得，，， 　　，． 　　于是有， 　　这个等式相乘得，由于，所以． 说明：这种方法叫做迭乘法，相类似的还有迭加法． [NextPage] 反馈练习   （1）在数列中，设，则通项可能是（     ）．           （2）已知数列的通项公式是，若则的值为（     ）．    12   9   8    6 （3）点，，，…，，…是函数的图象上的一系列点，其中，试写出数列的前5项，并求出的值． （4）已知数列的前项和满足，求证这个数列各项都等于同一个常数． 答案：（1）；（2）；（3），＝95  ． （4）提示：， ．